ONB aus Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Im unitären Vektorraum $ [mm] \IC^4 [/mm] $ (mit dem Standartskalarprodukt) sei der Endomorphismus $ [mm] \phi [/mm] $ durch die Abbildungsmatrix A bezüglich der Standartbasis gegeben:
A = $ [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i} [/mm] $
Berechne eine Orthonormalbasis von V aus den Eigenvektoren von [mm] \phi.
[/mm]
Hinweis: [mm] \chi_{A}(x)=(1+x)^2(i-x)^2 [/mm] |
Hallo! Habe leider erhebliche Probleme beim Lösen komplexer Gleichungssysteme.. :( Hoffe mir kann da jemand vielleicht einen Tipp geben.
Erstmal ist das charakteristische Polynom schon gegeben. Dafür ergeben sich die doppelten Nulstellen [mm] x_{1}=-1 [/mm] und [mm] x_{2}=i [/mm] .
Für [mm] x_{1}=-1 [/mm] :
[mm] A-(-1*E_{4}) [/mm] = $ [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ -3+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -4+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -3+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -4+4i} [/mm] $
So, jetzt kann ich zwar die Zeilen hin und her verrechnen, komme aber irgendwie nicht auf die Nullzeile, die ich gern hätte. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank schonmal! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo! Kann mir da niemand helfen? Bin langsam am verzweifeln.. :[
Dankeschön!
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Hallo chesn,
> Im unitären Vektorraum [mm]\IC^4[/mm] (mit dem
> Standartskalarprodukt) sei der Endomorphismus [mm]\phi[/mm] durch
> die Abbildungsmatrix A bezüglich der Standartbasis
> gegeben:
>
> A = [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}[/mm]
>
> Berechne eine Orthonormalbasis von V aus den Eigenvektoren
> von [mm]\phi.[/mm]
>
> Hinweis: [mm]\chi_{A}(x)=(1+x)^2(i-x)^2[/mm]
> Hallo! Habe leider erhebliche Probleme beim Lösen
> komplexer Gleichungssysteme.. :( Hoffe mir kann da jemand
> vielleicht einen Tipp geben.
>
> Erstmal ist das charakteristische Polynom schon gegeben.
> Dafür ergeben sich die doppelten Nulstellen [mm]x_{1}=-1[/mm] und
> [mm]x_{2}=i[/mm] .
>
> Für [mm]x_{1}=-1[/mm] :
>
> [mm]A-(-1*E_{4})[/mm] = [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ -3+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -4+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -3+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -4+4i}[/mm]
In der Diagonalen habe ich andere Realteile stehen.
>
> So, jetzt kann ich zwar die Zeilen hin und her verrechnen,
> komme aber irgendwie nicht auf die Nullzeile, die ich gern
> hätte. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Vielen Dank schonmal! :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Hmm.. bisherige Rechenschritte wären das ablesen der Eigenwerte aus dem charakteristischen Polynom und einsetzen dieser in die Abbildungsmatrix.
Um die Eigenvektoren für x=-1 zu bestimmen also:
$ [mm] (A-(-1*E_{4}))=\bruch{1}{9} \pmat{ (-4+5i)-(-1) & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & (-5+4i)-(-1) & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & (-4+5i)-(-1) & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & (-5+4i)-(-1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} \pmat{ (-4+5i)+1 & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & (-5+4i)+1 & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & (-4+5i)+1 & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & (-5+4i)+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} \pmat{ -3+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -4+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -3+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -4+4i} [/mm] $
oder liege ich damit schon daneben?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
ahh.. lass mich raten, ich hätte das [mm] \bruch{1}{9} [/mm] erst in die Matrix multiplizieren sollen?!
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Hallo chesn,
> Hallo!
>
> Hmm.. bisherige Rechenschritte wären das ablesen der
> Eigenwerte aus dem charakteristischen Polynom und einsetzen
> dieser in die Abbildungsmatrix.
>
> Um die Eigenvektoren für x=-1 zu bestimmen also:
>
> [mm](A-(-1*E_{4}))=\bruch{1}{9} \pmat{ (-4+5i)-(-1) & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & (-5+4i)-(-1) & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & (-4+5i)-(-1) & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & (-5+4i)-(-1)} = \bruch{1}{9} \pmat{ (-4+5i)+1 & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & (-5+4i)+1 & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & (-4+5i)+1 & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & (-5+4i)+1} = \bruch{1}{9} \pmat{ -3+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -4+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -3+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -4+4i}[/mm]
>
> oder liege ich damit schon daneben?
Die Matrix
[mm](A-(-1*E_{4}))[/mm]
stimmt schon nicht.
Es ist
[mm](A-(-1*E_{4}))= \bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i} -\left(-1\right)*\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Vielen Dank!
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
jap, danke! hab den blöden fehler gerade bemerkt.. manchmal tut man sich doch schwerer als es ist. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Ich habe jetzt als Eigenvektoren errechnet:
Zu [mm] x_1=-1 [/mm] :
[mm] \pmat{2\\2\\0\\1} [/mm] und [mm] \pmat{4\\5\\2\\0}
[/mm]
Zu [mm] x_2=i [/mm] :
[mm] \pmat{2\\-2\\1\\0} [/mm] und [mm] \pmat{-5\\4\\0\\2}
[/mm]
Überprüft habe ich diese auch schon, sind richtig.
Vektoren einer Orthonormalbasis sind auf die Länge 1 normiert. D.h. ich muss die Vektoren so schreiben, dass das erfüllt ist:
[mm] \pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 0 \\ \bruch{1}{3} }, \pmat{ \bruch{4}{3*\wurzel{5}} \\ \bruch{5}{3*\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{3*\wurzel{5}} \\ 0}, \pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ 0 }, \pmat{ \bruch{-5}{3*\wurzel{5}} \\ \bruch{4}{3*\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{3*\wurzel{5}}}
[/mm]
Bilden diese Vektoren jetzt meine Orthonormalbasis oder habe ich was falsch gemacht?
Dankeschön schonmal!! :]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
[mm] \pmat{ \bruch{-5}{3\cdot{}\wurzel{5}} \\ \bruch{4}{3\cdot{}\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{2}{3\cdot{}\wurzel{5}}} [/mm] sollte der letzte Vektor natürlich sein.
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Hallo chesn,
> Hallo!
>
> Ich habe jetzt als Eigenvektoren errechnet:
>
> Zu [mm]x_1=-1[/mm] :
>
> [mm]\pmat{2\\2\\0\\1}[/mm] und [mm]\pmat{4\\5\\2\\0}[/mm]
>
> Zu [mm]x_2=i[/mm] :
>
> [mm]\pmat{2\\-2\\1\\0}[/mm] und [mm]\pmat{-5\\4\\0\\2}[/mm]
>
> Überprüft habe ich diese auch schon, sind richtig.
>
> Vektoren einer Orthonormalbasis sind auf die Länge 1
> normiert. D.h. ich muss die Vektoren so schreiben, dass das
> erfüllt ist:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 0 \\ \bruch{1}{3} }, \pmat{ \bruch{4}{3*\wurzel{5}} \\ \bruch{5}{3*\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{3*\wurzel{5}} \\ 0}, \pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ 0 }, \pmat{ \bruch{-5}{3*\wurzel{5}} \\ \bruch{4}{3*\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{3*\wurzel{5}}}[/mm]
>
> Bilden diese Vektoren jetzt meine Orthonormalbasis oder
> habe ich was falsch gemacht?
Diese Vektoren sind nicht alle orthogonal.
.
Die Eigenvektoren zu je einem Eigenwert sind nicht orthogonal-
>
> Dankeschön schonmal!! :]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
Ahh okay, also wird meine Orthonormalbasis gebildet von:
[mm] \pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 0 \\ \bruch{1}{3} } [/mm] und [mm] \pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ 0 }
[/mm]
So passt das dann??
Vielen Dank!
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Hallo chesn,
> Ahh okay, also wird meine Orthonormalbasis gebildet von:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 0 \\ \bruch{1}{3} }[/mm]
> und [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ 0 }[/mm]
>
> So passt das dann??
Nein, das passt nicht.
Aus den 4 ermittelten Vektoren mußt Du eine Orthonormalbasis basteln.
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 19.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo nochmal! Habe jetzt durch ein bisschen rumprobieren die restlichen Vektoren gefunden.. kann man die auch auf etwas elegantere Weise ausrechnen? Ich habe:
[mm] \pmat{2\\2\\0\\1}, \pmat{2\\-2\\1\\0}, \pmat{-1\\0\\2\\2}, \pmat{0\\1\\2\\-2}
[/mm]
als ONB.
Vielen Dank!
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Hallo chesn,
> Hallo nochmal! Habe jetzt durch ein bisschen rumprobieren
> die restlichen Vektoren gefunden.. kann man die auch auf
> etwas elegantere Weise ausrechnen? Ich habe:
Natürlich gibt es diese "elegantere Weise".
Siehe hier: GramSchmidt
>
> [mm]\pmat{2\\2\\0\\1}, \pmat{2\\-2\\1\\0}, \pmat{-1\\0\\2\\2}, \pmat{0\\1\\2\\-2}[/mm]
>
> als ONB.
Das ist zunächst eine Orthogonalbasis.
Um eine ONB zu erhalten, mußt Du die Vektoren noch normieren.
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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