ONB aus simultanen Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
ich habe gerade den Beitrag von Margarita und Julius über das "Simultane Diagonalisierungstheorem" gelesen und habe es mir auch schon heraus geschrieben, wie kann ich das nämlich bei folgender Aufgabe anwenden:
Es sei [mm] (V,\beta) [/mm] unitär und [mm] \psi [/mm] und [mm] \psi [/mm] seien normale Endomorphismen mit [mm]\psi .\phi= \phi . \psi[/mm]
Man zeige: Es gibt eine Orthonormalbasisi (das ist glaube ich der einzige Unterschied...) von V, die aus simultanen Eigenvektoren von [mm] \psi [/mm] und [mm] \phi [/mm] besteht. Wie lautet die Matrizenversion zu dieser Aufgabe???
Ich verstehe nicht genau, was simultan überhaupt bedeutet...
Das hatte wir gar nicht gehabt (glaub ich...)
Ich würde mich freuen, wenn jemand eine Idee dazu hätte, weil ich habe irgendwie kein Verständnis für all diese [mm] \psi's [/mm] und [mm] \phi's...
[/mm]
Lieben Dank, Cathy :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine,
da die normalen Endomorphismen genau die Endomorphismen sind, die bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalgestalt in ihrer Matrixdarstellung zulassen, ist die Aufgabe wirklich genau die Aufgabe, die Julius gelöst hat. Ob nun Orthogonal- oder Orthonormalbasis, ist vollkommen nebensächlich, da man ja aus einer Orthogonalbasis, bestehend aus gemeinsamen Eigenvektoren der beiden Endomorphismen, direkt eine Orthonormalbasis, bestehend aus gemeinsamen Eigenvektoren der beiden Endomorphismen, erhält, indem man alle Vektoren normiert.
Also, nehme einfach den Beweis von Julius, schreib ihn ab und versuche ihn zu verstehen.
Liebe Grüße
Stefan
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