ONB des < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] u_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}, u_{2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 4 \\ 4}, u_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf u1 bis u3 an und ergänzen Sie das Resultat zu einer Orthonormalbasis
des [mm] \IR^4 [/mm] |
Hallo und frohes Neues!
Ich hab grad ein Brett vorm Kopf. Über Gram-Schmidt hab ich die drei (normalisierten) Vektoren
[mm] v_{1}=\vektor{0 \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3}}, v_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_{3}=\vektor{0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{8}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{8}}} [/mm] berechnet. Mein Problem ist der Rest der Aufgabe: Für eine ONB brauche ich doch noch einen 4. linear unabhängigen Vektor. Wie komm ich denn da ran?
Gruß, Christoph
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Hallo Palisaden-Honko,
> Sei [mm]u_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}, u_{2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 4 \\ 4}, u_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf u1 bis u3 an und
> ergänzen Sie das Resultat zu einer Orthonormalbasis
> des [mm]\IR^4[/mm]
> Hallo und frohes Neues!
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> Ich hab grad ein Brett vorm Kopf. Über Gram-Schmidt hab ich
> die drei (normalisierten) Vektoren
> [mm]v_{1}=\vektor{0 \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3}}, v_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_{3}=\vektor{0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{8}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{8}}}[/mm]
> berechnet. Mein Problem ist der Rest der Aufgabe: Für eine
> ONB brauche ich doch noch einen 4. linear unabhängigen
> Vektor. Wie komm ich denn da ran?
Dieser Vektor, ich nenne ihn mal [mm]v_{4}[/mm], muß orthogal zu [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] sein.
Es müssen dann folgende Gleichungen erfüllt sein:
[mm]v_{1}\*v_{4}=0[/mm]
[mm]v_{2}\*v_{4}=0[/mm]
[mm]v_{3}\*v_{4}=0[/mm]
Außerdem soll [mm]\vmat{v_{4}}=1[/mm] sein.
> Gruß, Christoph
Gruß
MathePower
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Okay, wenn ich dich richtig verstehe, krieg ich damit dieses LGS:
[mm] \pmat{0&\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3}\\1 & 0 &0&0 \\ 0&\bruch{-2}{\wurzel{8}}&0&\bruch{-2}{\wurzel{8}}\\v_{4w}&v_{4x}&v_{4y}&v_{4z} }*\overrightarrow{v_{4}}=\vektor{0\\0\\0\\1}, [/mm] was ich dann lösen kann.
Danke!
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Hm... klappt doch nicht ganz.
Ich konnte das Gleichungssystem auf
[mm] \pmat{ 1 & 2&2 \\ 1&0&1\\ v_{4x}&v_{4y}&v_{4z}} *\overrightarrow{v_{4}}=\vektor{0\\0\\1} [/mm] zusammenstreichen (mit [mm] v_{4w}=0). [/mm] Aber das krieg ich nicht gelöst...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 07.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
wenn wir die Bedingungen berücksichtigen, die an [mm] v_4 [/mm] gestellt sind (siehe Post von MathePower):
> $ [mm] v_{1}*v_{4}=0 [/mm] $
> $ [mm] v_{2}*v_{4}=0 [/mm] $
> $ [mm] v_{3}*v_{4}=0 [/mm] $
> Außerdem soll $ [mm] \vmat{v_{4}}=1 [/mm] $ sein.
Sei [mm] v_4=\vektor{a \\ b \\ c \\ d}
[/mm]
Das heißt:
1. [mm] v_{1}*v_{4}=0\gdw{\bruch{1}{3}b+\bruch{2}{3}c+\bruch{2}{3}d=0}
[/mm]
2. [mm] v_{2}*v_{4}=0\gdw{1a=0}\Rightarrow{\red{a=0}}
[/mm]
3. [mm] v_{3}*v_{4}=0\gdw{-\bruch{2}{\wurzel{8}}b-\bruch{2}{\wurzel{8}}d=0}\Rightarrow{d=-b}
[/mm]
Zusätzlich muss gelten, unter Berücksichtigung, dass [mm] \red{a=0} [/mm] und [mm] \red{d=-b}:
[/mm]
4. [mm] \vmat{v_{4}}=\wurzel{b^2+c^2+(-b)^2}=\wurzel{b^2+c^2+b^2}=\wurzel{2b^2+c^2}=1\gdw{2b^2+c^2=1}
[/mm]
Setzen wir die Erkenntnisse von 3. in 1.:
[mm] \bruch{1}{3}b+\bruch{2}{3}c-\bruch{2}{3}b=0\gdw{-\bruch{1}{3}b+\bruch{2}{3}c=0}\gdw{\bruch{1}{3}b=\bruch{2}{3}c}\gdw{c=\bruch{3}{6}b}\gdw{c=\bruch{1}{2}b}
[/mm]
Diese Erkenntnis setzen wir nun in 4. [mm] (2b^2+c^2=1) [/mm] ein:
[mm] 2b^2+(\bruch{1}{2}b)^2=1\gdw{2b^2+\bruch{1}{4}b^2=1}\gdw{2\bruch{1}{4}b^2=1}\gdw{\bruch{9}{4}b^2=1}\gdw{b^2=\bruch{4}{9}}\gdw{b=\pm\wurzel{\bruch{4}{9}}}\gdw{b=\pm\bruch{2}{3}}
[/mm]
Nun kannst du noch sowohl c als auch d berechnen. Eigentlich hatte ich nicht vor, dir den kompletten Lösungsweg aufzuzeigen, es hat sich jedoch im Laufe der Beantwortung so ergeben. Aber das nimmst du mir sicher nicht übel, denke ich. 
MfG barsch
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> Eigentlich hatte ich nicht vor, dir den kompletten
> Lösungsweg aufzuzeigen, es hat sich jedoch im Laufe der
> Beantwortung so ergeben. Aber das nimmst du mir sicher
> nicht übel, denke ich.
Ne, tu ich nicht  Es hat mir aber sehr geholfen, die richtige Lösung zu sehen. Ich hatte mir da nen ziemlichen Schwampf zusammengerechnet...
Gruß, Christoph
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