ONS mit Lebesgue-Int. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrache den [mm] \IR-Vektorraum H=L^2([0,2\pi]) [/mm] der quadratischen Lebesgue-integrierbarer Funktionen mit dem Skalarprodukt: Für alle [mm] f,g\in L^2([0,2\pi]): :=\integral^{2\pi}_{0}fgd\mu
[/mm]
Sei [mm] S:=\{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\} \cup \{\bruch{1}{\wurzel{\pi}}*cos(nx);n\in\IN\} \cup \{\bruch{1}{\wurzel{\pi}}*sin(nx);n\in \IN\}
[/mm]
Zeigen Sie, dass S ein ONS in H ist. |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe bzw. mit dem Lebesgue-Integral, denn bisher kannte ich das Lebesgue-Integral nur vom Hören-Sagen. Unser Prof hat 30 Minuten darüber geredet, aber wie man das konkret berechnet, ist mir nicht klar geworden.
Der Unterschied zum Riemannintegral ist ja, dass man bei Lebesgue den Wertebereich in Intervalle teilt, aber wie berechnet man so ein Lebesgue-Integral? Bei Riemann berechnet man ja ein Integral in der Regel nicht über Unter/Obersummen, sondern, in dem man eine Stammfunktion findet und den Hauptsatz der Integralrechnung anwendet.
Wie sieht das bei Lebesgue aus?
Bei dem Aufgabe muss ich 2 Dinge zeigen: Zum einen, dass alle Elemenet aus S normiert sieht und zum anderen <f,g>=0.
Das alle Elemente normiert sind, krieg ich hin, wenn ich das Integral wie ein Riemannintegral betrachte.
Zum beispiel:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}=x \in [/mm] S=> [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] =1
[mm] \parallel \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \parallel=<\bruch{1}{\wurzel{2\pi}},\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}>^{1/2}=(\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}*\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} d\mu )^{1/2}}
[/mm]
Kann ich jetzt den linearen Anteil vor das Integral ziehen und das integrieren(so würde man das bei Riemann machen)
[mm] =>(\bruch{1}{2\pi}*[\mu]_{0}^{2\pi})^{1/2}=1
[/mm]
Ich habe versucht, mich im Internet nach Lebesgue schlau zu machen, aber das sieht schon recht kompliziert aus, da ich Begriffe wie messbar und Maßraum zum ersten Mal höre.
Ich hoffe, mir kann einer helfen.
Gruß und vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Sind a, b [mm] \in \IR [/mm] und a<b, so gilt:
Ist f auf [a,b] stetig, so ist f Lebesgue-integrierbar über [a,b] und es gilt:
$R [mm] -\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= [/mm] L- [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}.$
[/mm]
Links: Riemannintegral, rechts: Lebesgueintegral.
Manchmal schreibt man auch [mm] \integral_{a}^{b}{f d \mu} [/mm] für das L- Integral.
Ich hoffe, das hilft fürs erste.
FRED
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Hallo!
Danke schonmal
> Sind a, b [mm]\in \IR[/mm] und a<b, so gilt:
>
> Ist f auf [a,b] stetig, so ist f Lebesgue-integrierbar
> über [a,b] und es gilt:
>
>
> [mm]R -\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= L- \integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Links: Riemannintegral, rechts: Lebesgueintegral.
>
Ok, wenn man auf beiden Seiten mit [mm] +\integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm] addiert, dann gilt R=L unter der Vor., dass f stetig und die Intervallgrenzen aus [mm] \IR [/mm] sind. Und man kanndas Integral addieren, da es existiert, da f stetig.
> Manchmal schreibt man auch [mm]\integral_{a}^{b}{f d \mu}[/mm] für
> das L- Integral.
>
> Ich hoffe, das hilft fürs erste.
>
>
> FRED
Dann kann man ja hier mit ruhigem Gewissen mit dem Riemann-Integral arbeiten?
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Danke schonmal
> > Sind a, b [mm]\in \IR[/mm] und a<b, so gilt:
> >
> > Ist f auf [a,b] stetig, so ist f Lebesgue-integrierbar
> > über [a,b] und es gilt:
> >
> >
> > [mm]R -\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= L- \integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>
> >
> > Links: Riemannintegral, rechts: Lebesgueintegral.
> >
> Ok, wenn man auf beiden Seiten mit
> [mm]+\integral_{a}^{b}{f(x)dx}[/mm] addiert, dann gilt R=L
Ohhh... , ich glaube Du hast meine Notation falsch interpretiert !
In
[mm]R -\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= L- \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
sind die "-" keine Minuszeichen, sondern Bindestriche !!!
Also: für stetige Funktionen ist das Riemannint. = Lebesgueint.
> unter der
> Vor., dass f stetig und die Intervallgrenzen aus [mm]\IR[/mm] sind.
> Und man kanndas Integral addieren, da es existiert, da f
> stetig.
> > Manchmal schreibt man auch [mm]\integral_{a}^{b}{f d \mu}[/mm]
> für
> > das L- Integral.
> >
> > Ich hoffe, das hilft fürs erste.
> >
> >
> > FRED
>
> Dann kann man ja hier mit ruhigem Gewissen mit dem
> Riemann-Integral arbeiten?
Ja, wenn f stetig ist.
Es geht noch allgemeiner, abe das würde jetzt zu weit führen.
FRED
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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