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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - O sin/cos
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O sin/cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 So 08.01.2012
Autor: sissile

Aufgabe
sin h = h + O [mm] (h^3) [/mm]

Ich versteh nicht, was das bedeutet. DIe Definition von O wurde schon behandelt, anscheinend ist es mir aber nicht so klar, dass ich die obige Formel erkennen/deuten kann.

Liebe Grüße

        
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O sin/cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 So 08.01.2012
Autor: sissile

Schreibst du seit einer 3/4 Stunde an einer ANtwort Leduart?

Liebe Grüße

Bezug
        
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O sin/cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 So 08.01.2012
Autor: notinX

Hallo,

> sin h = h + O [mm](h^3)[/mm]
>  Ich versteh nicht, was das bedeutet. DIe Definition von O
> wurde schon behandelt, anscheinend ist es mir aber nicht so
> klar, dass ich die obige Formel erkennen/deuten kann.

schau Dir mal die Potenzreihenentwicklung des sin an. Der erste Summand ist der lineare Term (also eine Gerade durch den Ursprung) und alle weiteren Summanden haben Ordnung [mm] $\geq [/mm] 3$. D.h. alle weitern Summanden haben als Potenz mindestens 3.


>
> Liebe Grüße

Gruß,

notinX

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O sin/cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 So 08.01.2012
Autor: sissile

Ja
sin x = x - [mm] x^3/3! [/mm] + [mm] x^5/5!... [/mm]
und
cos x = 1 - [mm] x^2/2 [/mm] + [mm] x^4/4! [/mm]

Aber die Schreibweise um die es geht ist mir trotzdem nicht klar.
Wie würde das denn mit dem cos aussehen?
cos(h) = 1 - [mm] O(h^2)? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
O sin/cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 So 08.01.2012
Autor: notinX


> Ja
>  sin x = x - [mm]x^3/3![/mm] + [mm]x^5/5!...[/mm]
>  und
>  cos x = 1 - [mm]x^2/2[/mm] + [mm]x^4/4![/mm]
>  
> Aber die Schreibweise um die es geht ist mir trotzdem nicht
> klar.
>  Wie würde das denn mit dem cos aussehen?
>  cos(h) = 1 - [mm]O(h^2)?[/mm]  

Das wäre auch nicht falsch, aber in der Regel schreibt man:
[mm] $\cos(h) [/mm] = 1 [mm] {\color{red}+} O(h^2)$ [/mm]

Gruß,

notinX

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O sin/cos: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:26 So 08.01.2012
Autor: sissile

Hallo, nochmals ich^^

O $ [mm] (h^3) [/mm] $ ...alle weitern Summanden haben als Potenz mindestens 3.
Aber das ist doch nicht die Definition von O ?

LG

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O sin/cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Mo 09.01.2012
Autor: angela.h.b.


> sin h = h + O [mm](h^3)[/mm]
>  Ich versteh nicht, was das bedeutet. DIe Definition von O
> wurde schon behandelt, anscheinend ist es mir aber nicht so
> klar, dass ich die obige Formel erkennen/deuten kann.
>
> Liebe Grüße

Hallo,

gemeint ist ja, daß

[mm] sin(h)=h+O(h^3) [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0.

Also ist [mm] sin(h)-h=O(h^3) [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0.

Nun ist (nachrechnen!) [mm] \lim_{h\to 0}|\bruch{sin(h)-h}{h^3}|=\bruch{1}{6}<\infty, [/mm]

also ist nach Def. [mm] sin(h)-h=O(h^3) [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0,

dh [mm] sin(h)=h+O(h^3) [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0.

LG Angela


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O sin/cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Di 10.01.2012
Autor: sissile


> $ [mm] \lim{h\to 0}|\bruch{sin(h)-h}{h^3}|=\bruch{1}{6}<\infty, [/mm] $

wie kommst du auf 1/6?
Könntest du mir da vlt nochmals behilflich sein?

DANKE

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O sin/cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Di 10.01.2012
Autor: felixf

Moin!

> > [mm]\lim_{h\to 0}|\bruch{sin(h)-h}{h^3}|=\bruch{1}{6}<\infty,[/mm]

Den Grenzwert vom Ausdruck in den Klammern kannst du mit Hilfe von []L'Hospital ausrechnen. Du musst die Regel mehr als einmal anwenden.

LG Felix


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O sin/cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Mi 11.01.2012
Autor: sandp


> > [mm]\lim{h\to 0}|\bruch{sin(h)-h}{h^3}|=\bruch{1}{6}<\infty,[/mm]
>  
> wie kommst du auf 1/6?
>  Könntest du mir da vlt nochmals behilflich sein?
>  
> DANKE

du kannst hier l'hopital anwenden
gruß sandp

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O sin/cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mi 11.01.2012
Autor: angela.h.b.


> > [mm]\lim_{h\to 0}|\bruch{sin(h)-h}{h^3}|=\bruch{1}{6}<\infty,[/mm]
>  
> wie kommst du auf 1/6?
>  Könntest du mir da vlt nochmals behilflich sein?

Hallo,

wie bereits gesagt wurde, kann man das mit l'Hospital ausrechnen, und ich habe das auch getan.

Aber es ist vielleicht etwas "sportlicher", dies mithilfe der Reihendarstellung des sin zu tun, womit wir uns dann auch in die Nähe dessen bewegen, was Dir notinX zunächst gesagt hat.

Mach das ruhig mal.

LG Angela


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