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| Aufgabe 1 | Seien C und D beliebige nichtleere Teilmengen von [mm] \IR [/mm] und a,b [mm] \in \IR. [/mm] Wir erweitern die übliche Addition und Multiplikation zu Operationen auf Teilmengen wie folgt:
C + D = { r [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] D r = x + y }
a + C = {a} + C = {r [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C r = a + x }
C * D = {r [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] D r = x * y }
a * C = {a} * C = {r [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C r = a * x }
-C = {-1} * C = {r [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C r = -x }
Begründen Sie anhand der Defi nitionen die folgenden Aussagen:
Ist a > 0, b beliebig und besitzt C eine obere Grenze, dann besitzt auch a * (b + C) eine obere Grenze und es gilt: sup(a * (b + C)) = a * (b + sup(C)).
Hinweis: Man kann diese Aussage in zwei Teile zerlegen und in zwei Schritten beweisen. |
| Aufgabe 2 | | Ist C von oben beschränkt (d.h. es hat eine obere Schranke), dann ist (-C) von unten beschränkt und es gilt inf(-C) = -sup(C). |
Hallo liebe Community,
diesmal stelle ich eine Frage zu oberen und unteren Grenzen.
Im Tutorium haben wir ein ähnliche Aufgabe besprochen, leider kann ich sie nicht ganz auf meine Aufgabe übertragen und zeige euch deshalb erstmal wie ich vorgegangen bin und was ich mir gedacht habe.
Als erstes wissen wir aus dem Text, dass C eine obere Grenze und damit ein Supremum hat.
Daher: c:=sup(C)
Ich möchte zeigen: a*(b+c) ist das Supremum von C
zuerst: r=b+x [mm] \in [/mm] C; b [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] b+x [mm] \le [/mm] b+c [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] c
danach: r=a*x [mm] \in [/mm] C; a>0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*x [mm] \le [/mm] a*c [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] c
Beim beiden habe ich das inverse Element "hinzugefügt" einmal für "+" und einmal für "*".
Ob ich damit auch beweise, dass wenn C eine obere Schranke hat, auch a*(b+C) eine hat, weiß ich nicht, aber so ähnlich hatten wir es besprochen.
Ich gehe jetzt davon aus, dass a*(b+C) eine obere Schranke ist und damit sup(a*(b+C)) gilt. Damit muss ich nurnoch beweisen, dass auch a*(b+sup(C)) eine obere Schranke ist.
Dazu nutze ich den Widerspruchsbeweis:
Angenommen, a*(b+t)<a*(b+c) wäre auch obere Schranke
[mm] \varepsilon [/mm] := t - c > 0 , [mm] c':=c+\varepsilon
[/mm]
c' ist keine obere Schranke von C
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C: x>c'
[mm] \Rightarrow [/mm] x > c' = c + [mm] \varepsilon [/mm] = t
Das führt zum Widerspruch: t kann nicht obere Schranke gewesen sein, da x>t, x [mm] \in [/mm] C
[mm] \box
[/mm]
Fertig. Wie gesagt, so ähnlich hatten wir das. Alles ziemlich verwirrend, wenn man sowas zum erstem mal sieht. In unserem Beispiel hatten wir auch was mit [mm] \varepsilon [/mm] gemacht, allerdings hatten wir für ein c':= - [mm] \varepsilon [/mm] /2 und für d':= - [mm] \varepsilon [/mm] /2 genommen und am ende haben die ein ganzes [mm] \varepsilon [/mm] ergeben und so konnte man das dann einsetzen... Bin mir also hier sehr unsicher und würde mich über Hilfe freuen.
MfG Mojo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Do 25.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Seien C und D beliebige nichtleere Teilmengen von [mm]\IR[/mm] und
> a,b [mm]\in \IR.[/mm] Wir erweitern die übliche Addition und
> Multiplikation zu Operationen auf Teilmengen wie folgt:
> C + D = [mm] $\{ r \in \IR | \exists x \in C \exists y \in D r
> = x + y \}$
[/mm]
> a + C = {a} + C = [mm] $\{r \in \IR | \exists x \in C r
> = a + x \}$
[/mm]
> C * D = [mm] $\{r \in \IR | \exists x \in C \exists y \in D r
> = x * y \}$
[/mm]
> a * C = {a} * C = [mm] $\{r \in \IR | \exists x \in C r = a
> * x \}$
[/mm]
> -C = {-1} * C = [mm] $\{r \in \IR | \exists x \in C r = -x \}$
[/mm]
>
> Begründen Sie anhand der Defi nitionen die folgenden
> Aussagen:
>
> Ist a > 0, b beliebig und besitzt C eine obere Grenze, dann
> besitzt auch a * (b + C) eine obere Grenze und es gilt:
> sup(a * (b + C)) = a * (b + sup(C)).
> Hinweis: Man kann diese Aussage in zwei Teile zerlegen und
> in zwei Schritten beweisen.
>
>
> Ist C von oben beschränkt (d.h. es hat eine obere
> Schranke), dann ist (-C) von unten beschränkt und es gilt
> inf(-C) = -sup(C).
>
>
> Hallo liebe Community,
>
> diesmal stelle ich eine Frage zu oberen und unteren
> Grenzen.
>
> Im Tutorium haben wir ein ähnliche Aufgabe besprochen,
> leider kann ich sie nicht ganz auf meine Aufgabe
> übertragen und zeige euch deshalb erstmal wie ich
> vorgegangen bin und was ich mir gedacht habe.
>
>
> Als erstes wissen wir aus dem Text, dass C eine obere
> Grenze und damit ein Supremum hat.
> Daher: c:=sup(C)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich möchte zeigen: a*(b+c) ist das Supremum von C
Das müsste doch heißen:
"Ich möchte zeigen: a*(b+c) ist das Supremum von a*(b+C)"
>
> zuerst: r=b+x [mm]\in[/mm] C; b [mm]\in \IR \Rightarrow[/mm] b+x [mm]\le[/mm] b+c
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] c
>
> danach: r=a*x [mm]\in[/mm] C; a>0 [mm]\Rightarrow[/mm] a*x [mm]\le[/mm] a*c
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] c
>
> Beim beiden habe ich das inverse Element "hinzugefügt"
> einmal für "+" und einmal für "*".
> Ob ich damit auch beweise, dass wenn C eine obere Schranke
> hat, auch a*(b+C) eine hat, weiß ich nicht, aber so
> ähnlich hatten wir es besprochen.
Beinahe auf diese Weise kannst du zeigen, dass a*(b+c) eine obere
Schranke von a*(b+C) ist. Du musst nur an zwei Stellen etwas anderst
argumentieren:
zuerst: x [mm] $\in$ [/mm] C, b wie definiert [mm] ($\in \IR$), [/mm] r=b+x [mm]\in[/mm] b+C; [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b+x [mm]\le[/mm] b+c , da x [mm]\le[/mm] c
danach: a > 0, x [mm] $\in$ [/mm] b+C, r=a*x [mm]\in[/mm] a*(b+C)[mm]\Rightarrow[/mm] a*x [mm]\le[/mm] a*(b+c), da x [mm]\le[/mm] (b+c)
>
>
>
> Ich gehe jetzt davon aus, dass a*(b+C) eine obere Schranke
> ist und damit sup(a*(b+C)) gilt. Damit muss ich nurnoch
> beweisen, dass auch a*(b+sup(C)) eine obere Schranke ist.
Hier liegen die Fallen in den Feinheiten der Formulierung:
Nach dem oben gezeigten weist Du, dass a*(b+c) = a*(b+ sup C) eine
obere Schranke von a*(b+C). Wenn Du im folgenden Widerspruchbeweis
noch zeigst, dass dies die kleinste obere Schranke von a*(b+C) ist,
so ist sup(a*(b+C)) = a*(b+sup C).
>
> Dazu nutze ich den Widerspruchsbeweis:
>
> Angenommen, a*(b+t)<a*(b+c) wäre auch obere Schranke
>
> [mm]\varepsilon[/mm] := t - c > 0 , [mm]c':=c+\varepsilon[/mm]
Wenn [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ sein soll, muss [mm]\varepsilon[/mm] := c - t > 0 sein,
da nach Voraussetzung t < c.
Es sollte c' = $c - [mm] \varepsilon$ [/mm] sein, da $c + [mm] \varepsilon$ [/mm] eine obere
Schranke ist, wenn c eine obere Schranke ist.
> c' ist keine obere Schranke von C
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] C: x>c'
> [mm]\Rightarrow[/mm] x > c' = c + [mm]\varepsilon[/mm] = t
>
> Das führt zum Widerspruch: t kann nicht obere Schranke
> gewesen sein, da x>t, x [mm]\in[/mm] C
> [mm]\box[/mm]
Es müsste noch gefolgert werden, dass a*(b+t) keine obere Schranke von
a*(b+C) ist, wenn t keine obere Schranke von C ist.
>
> Fertig. Wie gesagt, so ähnlich hatten wir das. Alles
> ziemlich verwirrend, wenn man sowas zum erstem mal sieht.
> In unserem Beispiel hatten wir auch was mit [mm]\varepsilon[/mm]
> gemacht, allerdings hatten wir für ein c':= - [mm]\varepsilon[/mm]
> /2 und für d':= - [mm]\varepsilon[/mm] /2 genommen und am ende
> haben die ein ganzes [mm]\varepsilon[/mm] ergeben und so konnte man
> das dann einsetzen... Bin mir also hier sehr unsicher und
> würde mich über Hilfe freuen.
>
> MfG Mojo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
meili
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