Oberflächenintegral < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Sei [mm] \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=(z^{2},y,0) [/mm] ein Vektorfeld.
Zu berechnen ist das Oberflächenintegral für eine rechteckige Fläche in der y-z-Ebene mit den Grenzen y=0...3 und z=0...3. |
Hallo ihr!
Ich habe hier einmal mehr eine Frage zu Oberflächenintegralen ...
(Sei 0 die Oberfläche und V das Volumen.)
Das Oberflächenflächenintegral berechnet sich ja zu
[mm] \integral_{O}{\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) dO},
[/mm]
was ja nach dem Integralsatz von Gauß gleicht ist zu
[mm] \integral_{V}{div(\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) dV}.
[/mm]
Okay, die Divergenz des Feldes ist 1.
Es folgt also dass das Oberflächenintegral gleich
[mm] 1*\integral_{V}{dV}
[/mm]
ist. Nur hab ich ein Problem ... Da ich keine geschlossene Fläche habe ist mein Volumen doch Null *!?*
Folglich wäre das Oberflächenintegral Null *!?*
Wäre zwar ein schönes Ergebnis, aber diesem Braten traue ich nicht so ganz.
Würde mich freuen wenn mir jemand dazu eine Hilfestellung gibt!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 23.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kuebi
Gut dass du was gerochen hast.
Der Satz gilt für eine geschlssene Oberfläche! stell dir statt des Rechtecks erst mal einen in x-Richtg schmalen Quader vor, für den ist dder Sarz richtig, aber [mm] \vec{dO} [/mm] zeigt in den beiden rechtecken in entgegengestzter Richtung! du hast also richtig ausgerechnet, dass
[mm]\integral_{O}{\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) dO}- \integral_{O}{\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) dO}=0[/mm]
Das ist aber nicht sehr spannend!
also bleibt dir nichts anderes als wirklich zu integrieren mit
[mm] \vec{dO}=(1,0,0)*dy*dz [/mm] Skalarprodukt ausrechnen und integral ausführen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 23.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey ihr!
Also, dann muss ich dieses Oberflächenintegral konventionell ausrechnen.
D.h. ich habe [mm] \integral_{z=0}^{3} \integral_{y=0}^{3}{\vektor{z^{2}\\y\\0} dy dz} [/mm] zu berechnen.
Ich weiß, dass ich dieses Integral "von innen nach außen" rechnen kann, also so:
[mm] \integral_{y=0}^{3} (\integral_{0}^{3}{\vektor{z^{2}\\y\\0}dy)dz}
[/mm]
Nur weiß ich nun nicht, wie ich ich nun vorgehen soll im "Innern" des Integrals: Wie berechne ich [mm] \vektor{z^{2}\\y\\0}dy? [/mm] Muss ich ein Skalarprodukt bilden in dem in jedem Summanden nach y abgeleitet wird und dann integrieren? Ich weiß noch nicht so recht ein und aus mit diesem Vektor!
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 23.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hey du
Warum hast du meine Antwort auf falsch gestellt?
Sie war sicher richtig,.
Aber du hast sie nicht genau gelesen! In dem Oberflächenintegral steht kein Vektor sondern ein Skalarprodukt. Viele Profs lassen den Vektorpfeil über dO weg, es ist trotzdem ein Vektor der in Richtung der äußeren Normale der Fläche geht, ich hatte dir geschrieben dO=(1,0,0)*dydz (eigentlicch Spaltenvektor). Das Skalarprodukt mit A musst du berechnen und dann integrieren! Bitte nimm auf meine postings Bezug, und les sie etwas langsamer!
Du hast
[mm] $\integral_{y=0}^{3}\integral_{z=0}^{3}{\vektor{z^{2}\\y\\0}*{\vektor{1\\0\\0} dy dz}}$ [/mm]
zu berechnen.
und das sollte doch einfach sein.
>
> Ich weiß, dass ich dieses Integral "von innen nach außen"
> rechnen kann, also so:
>
> [mm]\integral_{y=0}^{3} (\integral_{0}^{3}{\vektor{z^{2}\\y\\0}dy)dz}[/mm]
>
> Nur weiß ich nun nicht, wie ich ich nun vorgehen soll im
> "Innern" des Integrals: Wie berechne ich
> [mm]\vektor{z^{2}\\y\\0}dy?[/mm] Muss ich ein Skalarprodukt bilden
> in dem in jedem Summanden nach y abgeleitet wird und dann
> integrieren? Ich weiß noch nicht so recht ein und aus mit
> diesem Vektor!
Du solltest dieses Integral ja nicht ausrechnen, aber wenn du ein solches Integral über Vektoren ausrechnest, z. Bsp wenn du aus einem Geschwindigkeitsfeld einen Weg ausrechnest, dann immer komponentenweise, Integral ist ne Summe, Vektoren werden komponentenweise addiert!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 23.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo leduart!
Es tut mir leid wenn irgendwelche Missverständnisse aufgetreten sind!
Ich habe deine erste Antwort so sehr sorgfältig gelesen wie ich meine eigenen Antworten immer sorgfältig verfasse. Nur wurde ich daraus leider noch nicht schlau.
Ich bin mir nicht bewusst, diese Antwort auf falsch gestellt zu haben. Als ich die Rückfrage geschrieben habe, war ich selbst verwundert dass sie ebenso markiert ist.
Auf jeden Fall habe ich mich über die Antwort gefreut und auch über die Antwort zur Rückfrage.
So dann.
Vlg, Kübi
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