Oberflächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | Es gilt den Flächeninhalt der Flächenstücke zu berechnen, deren Punkte (x,y,z) der Relation genügt:
[mm] x^{2}+y^{2} \le a^{2}
[/mm]
a>0
[mm] z=\bruch{xy}{a}
[/mm]
mit Zylinderkoordinaten |
Hallo!
Ich versuche mich derzeit an obiger Aufgabe, scheitere jedoch.
Ich habe die Zylinderkoordinaten "aufgestellt":
[mm] \vec{x}=\vektor{a*cos(\delta) \\ b*sin(\delta) \\ z}
[/mm]
Dann die partiellen Ableitungen nach z und [mm] \delta [/mm] gebildet, und erhalte
[mm] \vmat{ \vec{x}_{\delta} \times \vec{x}_{z} } [/mm] = a
Nun wollte ich die Fläche bestimmen mittels:
[mm] B=4*\integral_{\delta=0}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{z=0}^{a*cos(\delta)*sin(\delta)}{a dz} d\delta}
[/mm]
Die Fläche ist ja eine Art Sattelfläche, also symmetrisch, deswegen meine ich sie so berechnen zu können. Das erhaltene Ergebnis stimmt jedoch leider nicht mit dem Ergebnis der Lösung überein: [mm] (2/3)*\pi*(2\wurzel[2]{2}-1)a^{2}
[/mm]
Über Antworten und Hilfen würde ich mich freuen!
Vielen Dank,
Gruß
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Hallo,
> Es gilt den Flächeninhalt der Flächenstücke zu berechnen,
> deren Punkte (x,y,z) der Relation genügt:
>
> [mm]x^{2}+y^{2} \le a^{2}[/mm]
> a>0
> [mm]z=\bruch{xy}{a}[/mm]
>
> mit Zylinderkoordinaten
hmm, ich werde aus deiner aufgabe nicht so ganz schlau, denn zylinderkoordinaten sind imho für räumliche integrale gedacht und nicht für flächenintegrale.
ich würde einfach die parametrisierung der fläche nehmen, das flächenelement bestimmen und dann integrieren. das ist dann ein 2-dimensionales integral über eine kreisscheibe, so dass du vermutlich polarkoordinaten verwenden könntest.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Molch |
Dankesehr!
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