Oberflächenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 13.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | Sei [mm] D=\{(u,v)\in\IR^2: u^2+v^2<1\}
[/mm]
[mm] F:\IR^2->\IR^3 [/mm] F(u,v=(u,v,uv)
und [mm] \underline{F}=F(D) [/mm] das durch F definierte Flächenstück mit der Parametermenge D und "Rand" [mm] d\underline{F}=F(dD). [/mm] positive orientierung.
a) geben sie für jeden Punkt x=F(u,v) [mm] €\underline{F} [/mm] einen Normaleneinheitsvektor an |
bin leider in dem thema noch nicht fit. dieses parametrisierung zeugs ist mir ein grauen.
also unter D stelle ich mir ein Kreisgebiet mit radius 1 vor.
und vermutlich liegt darüber eine Fläche.
wie kann man das erkennen?
den Normaleneinheitsvektor habe ich versucht mit dem vektorprodukt der F(u,v) Funktion zu errechnen so:
da das D nach kreis aussieht habe ich gesetzt:
[mm] u=rcos(\phi), [/mm] v= [mm] rsin(\phi)
[/mm]
[mm] F_r: \vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)\\2rcos(\phi)sin(\phi)}
[/mm]
[mm] F_{\phi}: \vektor{-rsin(\phi)\\rcos(\phi)\\r^2cos(\phi)cos(\phi)-r^2sin(\phi)sin(\phi)}
[/mm]
das vektorprodukt der beiden habe ich dann so:
[mm] \vec{n}=\vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}
[/mm]
da von einheitsvektor die rede ist dachte ich ich teile noch durch den betrag von [mm] \vec{n}
[/mm]
[mm] |\vec{n}|= r\wurzel{1+r^2}
[/mm]
also
[mm] \vec{n}_E=\bruch{1}{ r\wurzel{1+r^2}} \vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}
[/mm]
macht irgendetwas davon sinn? vielen dank schon einmal!
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> Sei [mm]D=\{(u,v)\in\IR^2: u^2+v^2<1\}[/mm]
>
> [mm]F:\IR^2->\IR^3[/mm] F(u,v=(u,v,uv)
>
> und [mm]\underline{F}=F(D)[/mm] das durch F definierte
> Flächenstück mit der Parametermenge D und "Rand"
> [mm]d\underline{F}=F(dD).[/mm] positive orientierung.
>
> a) geben sie für jeden Punkt x=F(u,v) [mm]€\underline{F}[/mm]
> einen Normaleneinheitsvektor an
> bin leider in dem thema noch nicht fit. dieses
> parametrisierung zeugs ist mir ein grauen.
>
> also unter D stelle ich mir ein Kreisgebiet mit radius 1
> vor.
> und vermutlich liegt darüber eine Fläche.
> wie kann man das erkennen?
>
>
>
> den Normaleneinheitsvektor habe ich versucht mit dem
> vektorprodukt der F(u,v) Funktion zu errechnen so:
> da das D nach kreis aussieht habe ich gesetzt:
> [mm]u=rcos(\phi),[/mm] v= [mm]rsin(\phi)[/mm]
>
> [mm]F_r: \vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)\\2rcos(\phi)sin(\phi)}[/mm]
>
> [mm]F_{\phi}: \vektor{-rsin(\phi)\\rcos(\phi)\\r^2cos(\phi)cos(\phi)-r^2sin(\phi)sin(\phi)}[/mm]
>
> das vektorprodukt der beiden habe ich dann so:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}[/mm]
>
> da von einheitsvektor die rede ist dachte ich ich teile
> noch durch den betrag von [mm]\vec{n}[/mm]
>
> [mm]|\vec{n}|= r\wurzel{1+r^2}[/mm]
>
> also
>
> [mm]\vec{n}_E=\bruch{1}{ r\wurzel{1+r^2}} \vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}[/mm]
>
> macht irgendetwas davon sinn? vielen dank schon einmal!
Ja, das macht Sinn.
Hier kannst Du den Normaleneinheitsvektor noch etwas vereinfachen:
[mm]\vec{n}_E=\bruch{1}{ r\wurzel{1+r^2}} \vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}=\bruch{1}{ \wurzel{1+r^2}} \vektor{-r*sin(\phi)\\-r*cos(\phi)\\1}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 13.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | b) berechnen Sie die Oberfläche von [mm] \underline{F} [/mm] |
da habe ich so weiter gemacht, mit dem Oberflächenintegral 1. ORD.
den Betrag von n kenn ich ja jetzt aus a)
mit [mm] |\vec{n}|= r\wurzel{1+r^2} [/mm]
ich vermute das f=1 was man ja für die normale Fläche braucht soweit ich weiss also:
und 0<r<1, [mm] 0<\phi<2\pi
[/mm]
[mm] \integral\integralr\wurzel{1+r^2}d\phi [/mm] dr
= [mm] 2\pi r\wurzel{1+r^2} [/mm] dr
mit substiution [mm] U=r^2
[/mm]
komme ich auf
[mm] \bruch{2\pi}{3}\wurzel{1+r^2}^3 [/mm] |0,1
= [mm] \bruch{2\pi}{3}(\wurzel{2}^3 [/mm] -1)
stimmt hier noch was? danke!
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> b) berechnen Sie die Oberfläche von [mm]\underline{F}[/mm]
> da habe ich so weiter gemacht, mit dem
> Oberflächenintegral 1. ORD.
>
> den Betrag von n kenn ich ja jetzt aus a)
>
> mit [mm]|\vec{n}|= r\wurzel{1+r^2}[/mm]
>
> ich vermute das f=1 was man ja für die normale Fläche
Das ist richtig.
> braucht soweit ich weiss also:
> und 0<r<1, [mm]0<\phi<2\pi[/mm]
> [mm]\integral\integralr\wurzel{1+r^2}d\phi[/mm] dr
> = [mm]2\pi r\wurzel{1+r^2}[/mm] dr
Hier muss es heißen:
[mm]2\pi*\integral_{0}^{1}{ r\wurzel{1+r^2} \ dr}[/mm]
>
> mit substiution [mm]U=r^2[/mm]
>
> komme ich auf
>
> [mm]\bruch{2\pi}{3}\wurzel{1+r^2}^3[/mm] |0,1
>
> = [mm]\bruch{2\pi}{3}(\wurzel{2}^3[/mm] -1)
>
>
> stimmt hier noch was? danke!
Das stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 13.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | da traue ich mich auch noch an die c) :)
berechnen Sie das Oberflächenintegral
[mm] \integral_{F}{}{rotH*N d\sigma}
[/mm]
[mm] H=\vektor{-x_2,x_1,0}
[/mm]
c1) mit Stokes |
nun dazu berechne ich die [mm] rotH=(0,0,2)^T
[/mm]
und somit [mm] \integral_{F}{}{\vektor{0\\0\\2}\vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}}
[/mm]
[mm] =\integral_{F}{}{2r d\phi dr}
[/mm]
[mm] =\integral_{F}{}{4\pi r} 0=\integral_{F}{}{2\pi r^2}|0,1
[/mm]
[mm] =2\pi
[/mm]
kann man das so machen?
dankesehr!
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> da traue ich mich auch noch an die c) :)
>
> berechnen Sie das Oberflächenintegral
>
> [mm]\integral_{F}{}{rotH*N d\sigma}[/mm]
>
> [mm]H=\vektor{-x_2,x_1,0}[/mm]
>
> c1) mit Stokes
> nun dazu berechne ich die [mm]rotH=(0,0,2)^T[/mm]
>
> und somit
> [mm]\integral_{F}{}{\vektor{0\\0\\2}\vektor{-r^2sin(\phi)\\-r^2cos(\phi)\\r}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{F}{}{2r d\phi dr}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{F}{}{4\pi r} 0=\integral_{F}{}{2\pi r^2}|0,1[/mm]
>
> [mm]=2\pi[/mm]
>
> kann man das so machen?
Ja.
>
> dankesehr!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Sa 13.03.2010 | | Autor: | domerich |
danke große hilfe!
|
|
|
|
