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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Oberflächenintergral der Funktion f: IR³->IR³ mit (x,y,z)->(x,x+y,x+y+z) über die Oberfläche von A={(x,y,z) aus IR³ | sqrt(x²+y²+z²)<2 und x>1}. |
Hallo ihr Lieben!
Die Aufgabe soll ich einmal mit dem normalen Oberflächenintegral machen und einmal mit dem Satz von Gauß.
1.) Ich hab mal mit dem Oberflächenintegral angefangen:
Das ganze ist wohl ein Kugelsegment, d.h. ich teile das auf in Kugelsegmentoberfläche A1 und Boden A2. Die Normale N ist (x,y,z) und damit <f,N>=x²+y²+z²+xy+xz+yz.
Soweit so gut. Jetzt brauche ich ja wahrscheinlich Kugelkoordinaten, oder?
Also setze ich einfach x=r*sina*cosb, y=r*sina*sinb, z=r*cosa, oder?
Dann kriege ich eine Funktion f, die nur noch von a und b abhängt, r ist ja 2.
Jetzt meine Frage: b müsste ja von 0 bis 2Pi gehen, weil ich einmal rum gehe. Aber was sind den Grenzen für a? Ich habe da schon probiert irgendwie mit geometrischer Anschauung darauf zu kommen, aber irgendwie klappt das nicht bei mir nicht :-/
Oder ist mein ganzer Ansatz schon falsch?
***
2.) Meine zweite Frage wäre dann zur Vorgehensweise mit dem Satz von Gauß. Wenn ich das richtig verstehe, dann muss ich da ja über das Volumen des Segments integrieren, mit der div F als Integrationsfunktion.
D.h. das einzige Problem hier sollte sein die Integrationsgrenzen für f zu finden, oder?
Für wäre die Untergrenze 1 und die Obergrenze hängt dann eben von y und z ab, oder? Is die dann 2 - sqrt z - sqrt y?
Das scheint ja nicht ganz zu stimmen - zumindest kommt es mir komisch vor, dass dann die anderen Obergrenzen alle gleich wären :-(
Kann mir jemand helfen? Würde mich freuen!
Viele Grüße,
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 06.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie das Oberflächenintergral der Funktion f:
> IR³->IR³ mit (x,y,z)->(x,x+y,x+y+z) über die Oberfläche
> von A={(x,y,z) aus IR³ | sqrt(x²+y²+z²)<2 und x>1}.
>
> Hallo ihr Lieben!
>
> Die Aufgabe soll ich einmal mit dem normalen
> Oberflächenintegral machen und einmal mit dem Satz von
> Gauß.
>
> 1.) Ich hab mal mit dem Oberflächenintegral angefangen:
>
> Das ganze ist wohl ein Kugelsegment, d.h. ich teile das auf
richtig.
> in Kugelsegmentoberfläche A1 und Boden A2. Die Normale N
> ist (x,y,z) und damit <f,N>=x²+y²+z²+xy+xz+yz.
welche Normale soll das sein? $(x,y,z)$ ist ein völlig beliebiger Vektor, der in jede Richtung zeigen kann.
>
> Soweit so gut. Jetzt brauche ich ja wahrscheinlich
> Kugelkoordinaten, oder?
Das bietet sich an.
>
> Also setze ich einfach x=r*sina*cosb, y=r*sina*sinb,
> z=r*cosa, oder?
> Dann kriege ich eine Funktion f, die nur noch von a und b
> abhängt, r ist ja 2.
Also zunächst musst Du mal die Oberfläche parametrisieren, wenn Du diese dann in f einsetzt sollte f nur noch von zwei Variablen abhängen.
>
> Jetzt meine Frage: b müsste ja von 0 bis 2Pi gehen, weil
> ich einmal rum gehe. Aber was sind den Grenzen für a? Ich
> habe da schon probiert irgendwie mit geometrischer
> Anschauung darauf zu kommen, aber irgendwie klappt das
> nicht bei mir nicht :-/
Dein b (welches üblicherweise [mm] $\varphi$ [/mm] bezeichnet wird) würde "einmal rum" gehen, wenn es eine Vollkugel wäre, das ist ja aber nicht der Fall. Um die Grenzen zu bestimmen machst Du Dir am besten eine kleine Zeichung (in der xy-Ebene):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Überlegen Dir von wo bis wo [mm] $\varphi$ [/mm] 'laufen' muss um den kompletten Bereich abzudecken.
Für a (welches üblicherweise [mm] $\vartheta$ [/mm] bezeichnet wird) machst Du Dir ähnliche Überlegungen.
>
> Oder ist mein ganzer Ansatz schon falsch?
>
> ***
>
> 2.) Meine zweite Frage wäre dann zur Vorgehensweise mit
> dem Satz von Gauß. Wenn ich das richtig verstehe, dann
> muss ich da ja über das Volumen des Segments integrieren,
> mit der div F als Integrationsfunktion.
Das ist eine abenteuerliche Beschreibung, aber ich glaube Du meinst das richtige, davon abgesehen, dass ich nicht weiß, was Du mit $F$ meinst, denn das hast Du nicht definiert.
> D.h. das einzige Problem hier sollte sein die
> Integrationsgrenzen für f zu finden, oder?
>
> Für wäre die Untergrenze 1 und die Obergrenze hängt dann
Ein Volumenintegral ist ein Dreifachintegral, es gibt also nicht 'die' Untergrenze, sondern drei Stück davon.
> eben von y und z ab, oder? Is die dann 2 - sqrt z - sqrt
> y?
> Das scheint ja nicht ganz zu stimmen - zumindest kommt es
> mir komisch vor, dass dann die anderen Obergrenzen alle
> gleich wären :-(
Ich würde Dir auch hier Kugelkoordinaten empfehlen. Da gibt es weder $x$ noch $y$ noch $z$. Die richtigen Grenzen in den richtigen Koordinaten findest Du genauso wie im ersten Aufgabenteil.
>
> Kann mir jemand helfen? Würde mich freuen!
>
> Viele Grüße,
> Laura
Gruß,
notinX
PS: Wenn Du den Formeleditor nutzen würdest, wäre Dein Beitrag wesentlich schöner zu lesen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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