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Hallo zusammen...
Ich stehe leider gerade ein wenig auf dem Schlauch, was folgende Aufgabe betrifft:
Es soll das Oberflächenintegral berechnet werden von:
a,b,c [mm] \ge [/mm] 0, f:(x,y,z) [mm] \to (\bruch{x^2}{a^4}+\bruch{y^2}{b^4}+\bruch{z^2}{c^4})^{\bruch{1}{2}}, [/mm] wobei die Oberfläche gegeben ist mit [mm] O=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2}=1 \right\}
[/mm]
Es wird somit eine Ellipse beschrieben
Nun zu meinem Problem.
Ich weiß leider nicht so recht, wie ich nun meine parametrisierung angehen soll.
Also welche Koordinaten soll ich hierfür am besten verwenden?
Meine Idee:
ich habe eine Internetseite gefunden, wo das Volumen einer Ellipse bestimmt wird.
Daher bin ich nun davon ausgegangen, dass ich ja eigentlich wie folgt parametrisieren könnte:
[mm] \alpha(\theta, \phi)=\vektor{ar sin\theta cos\phi \\ br sin\theta sin\phi \\ cr cos\theta}, [/mm] für [mm] \alpha(\theta, \phi):[0,\pi] \times [0,2\pi]
[/mm]
Anschließend würde ich mich dann an [mm] \integral \integral (f(\alpha(\theta, \phi))) \cdot ||\bruch{\partial \alpha}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \alpha}{\partial \phi}|| d\theta d\phi
[/mm]
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo zusammen...
>
> Ich stehe leider gerade ein wenig auf dem Schlauch, was
> folgende Aufgabe betrifft:
>
> Es soll das Oberflächenintegral berechnet werden von:
> a,b,c [mm]\ge[/mm] 0, f:(x,y,z) [mm]\to (\bruch{x^2}{a^4}+\bruch{y^2}{b^4}+\bruch{z^2}{c^4})^{\bruch{1}{2}},[/mm]
> wobei die Oberfläche gegeben ist mit [mm]O=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2}=1 \right\}[/mm]
>
> Es wird somit eine Ellipse beschrieben
>
> Nun zu meinem Problem.
>
> Ich weiß leider nicht so recht, wie ich nun meine
> parametrisierung angehen soll.
>
> Also welche Koordinaten soll ich hierfür am besten
> verwenden?
>
> Meine Idee:
>
> ich habe eine Internetseite gefunden, wo das Volumen einer
> Ellipse bestimmt wird.
>
> Daher bin ich nun davon ausgegangen, dass ich ja eigentlich
> wie folgt parametrisieren könnte:
>
> [mm]\alpha(\theta, \phi)=\vektor{ar sin\theta cos\phi \\ br sin\theta sin\phi \\ cr cos\theta},[/mm]
> für [mm]\alpha(\theta, \phi):[0,\pi] \times [0,2\pi][/mm]
>
> Anschließend würde ich mich dann an [mm]\integral \integral (f(\alpha(\theta, \phi))) \cdot ||\bruch{\partial \alpha}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \alpha}{\partial \phi}|| d\theta d\phi[/mm]
>
Die Idee ist richtig.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower und danke...
Ich seh jetzt leider nur noch ein Problem bei der Berechnung von [mm] f(\alpha(\theta, \phi)))
[/mm]
Es ergibt sich ja:
[mm] f(\alpha(\theta,\phi))=(R^2(\bruch{sin^2\theta cos^2\phi}{a^2}+\bruch{sin^2\theta sin^2\phi}{b^2}+\bruch{cos^2\theta}{c^2}))^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
An diesem Teil der Aufgabe sehe ich mich nun schon verzweifeln. Vor allem wenn es nachher zur Integration geht.
Kann ich das irgendwie vereinfachen, wenn ich das ganze z.B. multipliziere mit [mm] a^2b^2c^2 [/mm] ? Also wenn ich den Audruck in der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner bringe? Oder ist das quatsch???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo Mathepower und danke...
>
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> Ich seh jetzt leider nur noch ein Problem bei der
> Berechnung von [mm]f(\alpha(\theta, \phi)))[/mm]
>
> Es ergibt sich ja:
>
> [mm]f(\alpha(\theta,\phi))=(R^2(\bruch{sin^2\theta cos^2\phi}{a^2}+\bruch{sin^2\theta sin^2\phi}{b^2}+\bruch{cos^2\theta}{c^2}))^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> An diesem Teil der Aufgabe sehe ich mich nun schon
> verzweifeln. Vor allem wenn es nachher zur Integration
> geht.
>
> Kann ich das irgendwie vereinfachen, wenn ich das ganze
> z.B. multipliziere mit [mm]a^2b^2c^2[/mm] ? Also wenn ich den
> Audruck in der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner bringe?
> Oder ist das quatsch???
>
Das ist Quatsch.
Eine Möglichkeit ist, die Parametrisierung zu ändern:
[mm]\alpha(\theta, \phi)=\vektor{a^{\blue{2}}r sin\theta cos\phi \\ b^{\blue{2}}r sin\theta sin\phi \\ c^{\blue{2}}r cos\theta}, [/mm]
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Oh das vereinfacht sich ja dann um einiges. Danke für den Tipp
Ich erhalte dann:
[mm] f(\alpha(\theta,\phi))=(R^2 sin^2\theta cos^2\phi+R^2 sin^2\theta sin^2\phi+R^2cos^2\theta)^\bruch{1}{2}=(R^2)^\bruch{1}{2}=R
[/mm]
Ich habe nun leider noch eine Frage.
|| [mm] \bruch{\partial \alpha}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \alpha}{\partial \phi} ||=R^2 sin\theta \vektor{c^2b^2 sin\theta cos\phi \\ c^2a^2sin\theta sin\phi\\ a^2b^2 cos\theta}
[/mm]
Und allgemein weiß ich, dass [mm] \vec{e_r}=\vektor{sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi\\ cos\theta}
[/mm]
Darf ich das nun irgendwie umschreiben auf z.B.
[mm] (R^2sin\theta c^2b^2+R^2sin\theta c^2a^2 R^2 sin\theta a^2b^2)\vec{e_r}?
[/mm]
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Oh das vereinfacht sich ja dann um einiges. Danke für den
> Tipp
>
> Ich erhalte dann:
>
> [mm]f(\alpha(\theta,\phi))=(R^2 sin^2\theta cos^2\phi+R^2 sin^2\theta sin^2\phi+R^2cos^2\theta)^\bruch{1}{2}=(R^2)^\bruch{1}{2}=R[/mm]
>
> Ich habe nun leider noch eine Frage.
>
> || [mm]\bruch{\partial \alpha}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \alpha}{\partial \phi} ||=R^2 sin\theta \vektor{c^2b^2 sin\theta cos\phi \\ c^2a^2sin\theta sin\phi\\ a^2b^2 cos\theta}[/mm]
>
> Und allgemein weiß ich, dass [mm]\vec{e_r}=\vektor{sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi\\ cos\theta}[/mm]
>
> Darf ich das nun irgendwie umschreiben auf z.B.
>
> [mm](R^2sin\theta c^2b^2+R^2sin\theta c^2a^2 R^2 sin\theta a^2b^2)\vec{e_r}?[/mm]
>
Nein.
Hier musst Du den Betrag des Normalenvektors wirklich ausrechnen.
> mfg dodo4ever
>
Gruss
MathePower
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Hallo und danke...
nun schleichen sich bei mir langsam kopfschmerzen ein...
Wenn ich den Betrag des Normalenvektor berechne, dann erhalte ich ja:
[mm] ||\bruch{\partial \alpha}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \alpha}{\partial \phi}||= \wurzel{(c^2b^2R^2sin^2\theta cos\phi)^2 + (c^2a^2R^2sin^2\theta sin\phi)^2 + (a^2b^2R^2sin\theta cos\theta)^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{c^4b^4R^4sin^4\theta cos^2\phi + c^4a^4R^4sin^4\theta sin^2\phi + a^4b^4R^4sin^2\theta cos^2\theta}
[/mm]
hierfür sollte ich jetzt so einiges über trigonometrische Funktionen wissen oder??? Ist das nicht alles recht kompliziert?
Muss das denn so kompliziert sein :( ??
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo und danke...
>
> nun schleichen sich bei mir langsam kopfschmerzen ein...
>
> Wenn ich den Betrag des Normalenvektor berechne, dann
> erhalte ich ja:
>
> [mm]||\bruch{\partial \alpha}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \alpha}{\partial \phi}||= \wurzel{(c^2b^2R^2sin^2\theta cos\phi)^2 + (c^2a^2R^2sin^2\theta sin\phi)^2 + (a^2b^2R^2sin\theta cos\theta)^2}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{c^4b^4R^4sin^4\theta cos^2\phi + c^4a^4R^4sin^4\theta sin^2\phi + a^4b^4R^4sin^2\theta cos^2\theta}[/mm]
>
> hierfür sollte ich jetzt so einiges über trigonometrische
> Funktionen wissen oder??? Ist das nicht alles recht
> kompliziert?
>
> Muss das denn so kompliziert sein :( ??
>
Das ist leider bei einem Ellipsoid so kompliziert.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Naja... Ich hab zwar das Gefühl, dass ich nah ran komme. Aber ich das jemals so lösen kann...
Ich habe nun z.B. für [mm] \wurzel{c^4b^4R^4sin^4\theta cos^2\phi + c^4a^4R^4sin^4\theta sin^2\phi + a^4b^4R^4sin^2\theta cos^2\theta}
[/mm]
[mm] \wurzel{R^4sin^2\theta(c^4b^4sin^2\theta cos^2\phi + c^4a^4sin^2\theta sin^2\phi + a^4b^4cos^2\theta)}
[/mm]
[mm] R^2sin\theta\wurzel{(sin^2\theta(c^4b^4cos^2\phi+c^4a^4sin^2\phi)+a^4b^4cos^2\theta)}
[/mm]
[mm] R^2sin\theta\wurzel{(sin^2\theta(c^4b^4cos^2\phi+c^4a^4sin^2\phi)+a^4b^4(1-sin^2\theta))}
[/mm]
[mm] R^2sin\theta\wurzel{(sin^2\theta(c^4b^4cos^2\phi+c^4a^4sin^2\phi)+a^4b^4-a^4b^4sin^2\theta)}
[/mm]
[mm] R^2sin\theta\wurzel{(sin^2\theta(c^4b^4cos^2\phi+c^4a^4sin^2\phi - a^4b^4)+a^4b^4)}
[/mm]
und nun verließen sie mich auch schon...
Das kann doch nicht wahr sein arghhh :(((
mfg dodo4ever
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 03.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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