Oberflächenintegral Halbkugel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
kann mir hier bitte jemand erklären wie ich das Integral zum Berechnen der Oberfläche einer Halbkugel bzw. Kugel aufstelle?
Egal wo ich suche ich finde nur das fertig aufgestellte Integral. Ich habe das mehrfach probiert aber dummerweise krieg ichs nicht hin.
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Hallo!
Kannst du mal genauer erklären, was du wissen möchtest?
Geht es darum, woher die Grenzen und das [mm] r^2\sin(\theta) [/mm] kommt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Do 08.10.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo,
wie die Mitteilung vor mir schon angedeutet hat, benötigst du den Faktor [mm] $r^2sin(\theta)$, [/mm] das folgt aus dem Transformationssatz für Integrale, siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz
Ich führe das mal am Beispiel des Torus vor:
Wir verwenden die Koordinatentransformation
[mm] $$\vektor{x \\ y \\z}= \vektor{(R+rsin(v))cos(u)\\ (R+r*sin(v))sin(u)\\r*cos(v)},0\le [/mm] uv [mm] \le 2\pi$$
[/mm]
Das gibt dir einen Torus, dessen "Schlauch" die Dicke r hat, und sich mit dem Radius R um den Ursprung schließt.
Die Determinante der Jakobi-Matrix ist (laut Matlab) [mm] sin(v)r^2+Rr. [/mm] Dabei ist zu beachten, dass man r hier immer als variabel betrachtet, damit man eine quadatische Jakobi-Matrix bekommt, um die Determinante berechnen zu können, auch wenn man sich nur für die Oberfläche interessiert.
Möchte man die Oberfläche berechnen, hält man r fest. Für das Volumen muss man zusätzlich noch über r integrieren.
[mm] $$O=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{(sin(v)r^2+Rr)}dudv [/mm] $$
Der erste Term hebt sich aufgrund der [mm] $2\pi$ [/mm] Periode und der Linearität des Integrals weg, was als bleibt ist die Integration über Rr, was [mm] $4*\pi^2*R*r$ [/mm] ergibt.
Analog für das Volumen [mm] $2*\pi^2*R*r^2$. [/mm]
Ich hoffe das hat dir geholfen,
Hias
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Stell dir die Oberfläche vor aus ganz vielen schmalen Ringen, die sich wie die Breitenkreise auf der Erde um die Kugel winden.
Jeder dieser Ringe hat (von der Mitte des Streifens gerechnet, aber der soll ja "unendlich dünn" sein) gegen die "Erdachse" gerechnet einen bestimmten Winkel [mm] \alpha. [/mm] Seine Breite beträgt dann [mm] db=R*d\alpha (d\alpha [/mm] ist die Winkeldifferenz, die die Streifenbreite beschreibt).
Die Fläche, die dieser Streifen auf der Kugel einnimmt, ist nun seine Breite, multipliziert mit seiner Länge. Die Länge ist aber der Umfang des Kreises, den er auf der Kugel belegt, also [mm] 2\pi*r. [/mm] Da r aber verschieden ist und von [mm] \alpha [/mm] abhängt, muss das berücksichtigt werden: [mm] r=R*sin(\alpha).
[/mm]
Insgesamt haben wir nun: Flächenzuwachs durch einen Ring = [mm] dA=db*2\pi*r=R*d\alpha*2\pi*R*sin(\alpha).
[/mm]
Die gesamte Fläche erhältst du, indem du alle dA aufsummierst. Für die Summe schreibst du ein großes S, und das sieht dann so aus:
[mm] A=\integral{dA}=\integral_{0}^{\pi}{2\pi*R^2*sin(\alpha)*d\alpha}= [/mm] - [mm] 2\pi*R^2*cos(\alpha) [/mm] von 0 bis [mm] \pi [/mm] = [mm] 4\pi*R^2
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Es gibt auch die Möglichkeit, die Oberfläche statt mit dem sin oder cos anders zu berechnen. Falls du diese Mgl. suchst, melde dich noch mal.
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Hallo,
danke für die Antworten. Das hat mir schon gut weiter geholfen, nur leider schaff ichs nicht ans Ziel. Also werde ich hier einfach mal die gesamte Aufgabenstellung posten und evt. kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen...
Also es geht darum das auf der Oberfläche einer Halbkugel gleichmäßig eine Ladung Q1 verteilt ist. Im Mittelpunkt der HK befindet sich Ladung Q0. Zu berechnet ist die Kraft die auf Q0 wirkt.
Mein Ansatz:
Zuerst teile ich Q1 auf kleine dQ auf:
[mm] dQ=\bruch{Q1}{2*\pi*R^{2}}*dx*dy
[/mm]
[mm] dy=R*d\phi
[/mm]
[mm] dx=r*d\delta=R*sin\phi*d\delta
[/mm]
=> [mm] dQ=\bruch{Q1*R^2*sin\phi}{2*\pi*R^2}*d\delta*d\phi=\bruch{Q1*sin\phi}{2*\pi}*d\delta*d\phi
[/mm]
Die Kraft einer Teilladung auf Q0 berechnen:
[mm] dF=\bruch{Q0*dQ}{4\pi*\epsilon*R^2}=\bruch{Q0*Q1*sin\phi}{8*\pi^2*\epsilon*R^2}*d\delta*d\phi
[/mm]
Jede Teilkraft lässt sich in x und y komponenten zerlegen. Eine Komponente hebt sich auf da die Teilkräfte im Kreis angeordnet sind. Ich benötige somit nur:
[mm] dF_{h}=dF*cos\phi
[/mm]
Um nun F zu berechnen muss zweimal integriert werden:
[mm] F=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi*r}{\bruch{Q0*Q1*sin\phi*cos\phi}{8*\pi^2*\epsilon*R^2}*d\delta*d\phi}}
[/mm]
[mm] =\bruch{Q0*Q1}{8*\pi^2*\epsilon*R^2}\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi*R*sin\phi}{sin\phi*cos\phi*d\delta*d\phi}}
[/mm]
Ist das so richtig oder was mach ich falsch?
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Schau dir noch mal die obere Halbkugel im Bild an.
Alle Kräfte, die vom selben Kreisring (orange) ausgehen, ziehen aus Symmetriegründen mit der selben Kraft nach oben (z-Richtung). Ihre Querkomponenten in x- bzw. y-Richtung heben sich paarweise auf, weil es zu jedem Flächenelement ein gegenüberliegendes gleichgroßes gibt.
Also musst du nur alle Komponenten aller Kreisringe in z-Richtung addieren.
Alle Elemente sind gleichweit vom Mittelpunkt entfernt (R) und erzeugen somit gleichstarke Kräfte.
Wir betrachten nun einen solchen Kreis, aber haben nichts mit dx und dy am Hut (macht die Sache viel zu kompliziert).
Hat ein Kreisring die Fläche dA, so ist die darauf befindliche Ladung [mm] dQ=Q_1/(2\pi R^2)*dA [/mm] und die von ihm ausgehende Kraft
dF = [mm] \bruch{Q_0*dQ}{4\pi \epsilon*R^2} [/mm] mit der z-Komponente
[mm] dF_z [/mm] = [mm] \bruch{Q_0*dQ}{4\pi \epsilon*R^2}*cos(\alpha).
[/mm]
dabei ist [mm] dQ=Q_1/(2\pi R^2)*dA [/mm] und [mm] dA=db*2\pi*r=R*d\alpha*2\pi*r=2\pi*R^2*sin(\alpha)*d\alpha.
[/mm]
Insgesamt: [mm] dF_z [/mm] = [mm] \bruch{Q_0*dQ}{4\pi\epsilon*R^2}*cos(\alpha)= \bruch{Q_0}{4\pi\epsilon*R^2}*cos(\alpha)*Q_1/(2\pi R^2)*dA=\bruch{Q_0}{4\pi\epsilon*R^2}*cos(\alpha)*Q_1/(2\pi R^2)*2\pi*R^2*sin(\alpha)*d\alpha=\bruch{Q_0*Q_1}{4\pi\epsilon*R^2}*cos(\alpha)*sin(\alpha)*d\alpha.
[/mm]
Nun musst du nur noch über [mm] \alpha [/mm] von 0 bis 90° integrieren. Das gibt
[mm] \bruch{Q_0*Q_1}{8\pi\epsilon*R^2}*sin^2(\alpha) [/mm] von 0 bis 90°, also [mm] \bruch{Q_0*Q_1}{8\pi\epsilon*R^2}.
[/mm]
Im Wesentlichen hast du das selbe herausgefunden, nur hat dein [mm] \pi [/mm] ein Quadrat (das sich durch die Integrationsgrenze wieder weghebt), und die andere Grenze im Integral ist nicht richtig.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 So 11.10.2015 | | Autor: | Fl4shM4k3r |
Auf die Idee einfach einen ganzen Kreisring als dA zu nehmen bin ich garnicht gekommen. Genial. Ich danke dir vielmals!
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