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| Aufgabe | Sei V ein Volumen mit Oberfläche [mm] \partial [/mm] V und Volumeninhalt V . Ferner sei S eine ebene Fläche mit Rand [mm] \partial [/mm] S , Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{n} [/mm] und Flächeninhalt A.
Berechnen Sie:
a)
[mm] \partial [/mm] V : [mm] d\sigma [/mm] * [mm] \vec{r}
[/mm]
b)
[mm] \partial [/mm] S : [mm] d\vec{r} [/mm] X [mm] \vec{r}
[/mm]
c)
[mm] \partial [/mm] S : [mm] d\vec{r} [/mm] * [mm] \vec{r} [/mm] |
Hoi,
(oben in der Aufgabe sollen jeweils geschlossene Integrale sein mit V und S)
Also bei a) hab ich raus: 3V
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die b) rechnen soll:
mit green:
[mm] \int_V^ \! [/mm] (x-y) [mm] \, [/mm] dxdy = [mm] \frac{(x-y)}{2} [/mm] xy
Stimmt das so? Weil wenn ich das Vektorprodukt rechne kommt (0,0,xdy-ydx) raus. Oder muss ich nur die Divergenz berechnen? Wie mach ich das dann? Wenn ich das in kart. Koordinaten habe dann müsste ich (0,0,xdy-ydx) nach z ableiten, das ergibt 0 . hm
Gruß
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=495798
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 01.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei V ein Volumen mit Oberfläche [mm]\partial[/mm] V und
> Volumeninhalt V . Ferner sei S eine ebene Fläche mit Rand
> [mm]\partial[/mm] S , Normaleneinheitsvektor [mm]\vec{n}[/mm] und
> Flächeninhalt A.
> Berechnen Sie:
>
> a)
> [mm]\partial[/mm] V : [mm]d\sigma[/mm] * [mm]\vec{r}[/mm]
> b)
> [mm]\partial[/mm] S : [mm]d\vec{r}[/mm] X [mm]\vec{r}[/mm]
> c)
> [mm]\partial[/mm] S : [mm]d\vec{r}[/mm] * [mm]\vec{r}[/mm]
> Hoi,
> (oben in der Aufgabe sollen jeweils geschlossene Integrale
> sein mit V und S)
> Also bei a) hab ich raus: 3V
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die b) rechnen soll:
> mit green:
> [mm]\int_V \! (x-y) \, dxdy = \frac{(x-y)}{2} xy[/mm]
Der Satz von Green ist der Spezialfall des Satzes von Stokes für den [mm] $\IR^2$, [/mm] und hier sind wir im [mm] $\IR^3$, [/mm] oder?
Und was hat das Linienintegral über [mm] $\partial [/mm] S$ mit dem Volumenintegral über $V$ zu tun?
>
> Stimmt das so? Weil wenn ich das Vektorprodukt rechne kommt
> (0,0,xdy-ydx) raus.
Unter der Annahme, dass die Fläche S in der xy-Ebene liegt, also überall z=0 ist und damit auch jede Parametrisierung der Randkurve keine z-Komponente hat. Allgemein ist:
[mm] d\vec r \times \vec r = \vektor{zdy-ydz\\xdz-zdx\\ydx-xdy} [/mm] .
Unter dieser Annahme ist
[mm] ydx-xdy = (y,-x,0)* d\vec{r} [/mm] ,
und darauf kannst du den Satz von Stokes anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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