Obersumme.. ;) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Hiho @all.
Ich hab da nochmal eine kleine Frage bezüglich Obersumme..
Und zwar wollte ich das mit dem Summenzeichen allgemein darstellen.
Hier mal die Formel die dabei raus gekommen ist:
[mm] \summe_{i=a_x_+_1}^{n} f(x_i)(x_i-x_i-1)
[/mm]
Hoffentlich hat das geklappt mit der Formel =)
Das soll praktisch was allgemeines für die Obersumme sein.
Stimmt das?
Hab da nochwas^^
Könnt ihr mir sagen ob das mit den Trapezen richtig war? :)
Ich wollte mir der Formel praktisch so ein Trapez (statt Rechteck)berechnen:
1/2( [mm] (f(x_0)+f(x_1)) [/mm] * [mm] x_1-x_0 [/mm] )
thx & cya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> [mm]\summe_{i=a_x_+_1}^{n} f(x_i)(x_i-x_i-1)
[/mm]
Kannst du das mal näher erläutern? Was ist denn zum Beispiel das [mm] $a_{x+1}$?
[/mm]
Du solltest die Frage schon so formulieren, dass wir halbwegs wissen, worum es geht und alle Bezeichnungen erläutern. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Max80 |
sry.ich muss zugeben, dass das eindeutig blödsinn war was ich mir da gedacht habe. vielleicht ist die andere formel etwas realitätsnäher^^
cya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
> Hiho @all.
> Ich hab da nochmal eine kleine Frage bezüglich
> Obersumme..
> Und zwar wollte ich das mit dem Summenzeichen allgemein
> darstellen.
> Hier mal die Formel die dabei raus gekommen ist:
>
> [mm]\summe_{a_x_+_1=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_i-1)
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vermutlich meinst du $\summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ wobei $x_0 = a$ und $x_n=b$ ist? Riemannsumme, um die Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion $f(x)$ innerhalb der Grenzen $x_0 = a$ und $x_n = b$ zu berechnen, wobei das intervall $[a,b]$ mit $n-1$ Zwischenpunkten versehen ist?
>
> Hoffentlich hat das geklappt mit der Formel =)
>
> Das soll praktisch was allgemeines für die Obersumme
> sein.
> Stimmt das?
>
Nein, nach meinen Informationen, was die Obersumme ist, stimmt das nicht ganz. Für die Obersumme muss jeweils der grösste Funktionswert innerhalb des betrachteten Intervalls genommen werden. (Für die Untersumme jeweils der kleinste Wert). Wenn dieser Wert mit $\overline{f}_{x_{i-1},x_i}:=sup \{f(x)\mid x \in [x_{i-1},x_i}]\}$ bezeichnet wird, dann sieht es etwa so aus:
$\summe_{i=1}^{n} \overline{f}_{x_{i-1},x_i}*(x_i-x_{i-1})$
Zur Veranschaulichung machst du dir vielleicht eine kleine Skizze: wenn die Funktion monoton wachsend ist, dann stimmt deine Formel. Wenn die Funktion aber monoton fallend ist, dass müsste an Stelle von $f(x_i)$ dieser Wert genommen werden: $f(x_{i-1})$. Wenn die Funktion im betrachteten Intervall $[x_{i-1},x_i]$ einen Hochpunkt hat, dann muss dieser genommen werden. Bei einem Tiefpunkt der grössere der beiden Werte $f(x_{i-1})$ und $f(x_i)$
Alles klar?
>
> Hab da nochwas^^
> Könnt ihr mir sagen ob das mit den Trapezen richtig war?
> :)
> Ich wollte mir der Formel praktisch so ein Trapez (statt
> Rechteck)berechnen:
> 1/2( [mm](f(x_0)+f(x_1))[/mm] * [mm]x_1-x_0[/mm] )
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das ist korrekt so.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Hiho.
Also erstmal thx für die Antworten. Also
ich bin erstmal erleichtert, dass das mit dem Trapez
richtig war ;)
Bei der anderen Sache muss ich gestehen, das ich mir selbst sehr unsicher war. Hätte mir aber auch denken können, dass das so allgemein gesehen nicht stimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Also jetzt beim zweiten durchlesen hab ich das erst so richtig verstanden glaub ich^^. Und habe auch grade gemerkt was fürn Müll ich da geschrieben hab. Ich habe mir das nämlich so gedacht, das ich die Funktion (also die Höhe des Rechtecks) selbst einfach wie bei der Breite durch subtrahieren von [mm] x_1-x_0. [/mm] Das scheint mir auch als möglich (bis jetzt) aber im Nachhinein Frage ich mich jetzt warum ich das ins Summenzeichen geschrieben hab. :D
Also anders würde das jetzt so aussehen:
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_i_-_1)
[/mm]
könnte man das so nehmen? warscheinlich nicht oder? :(
die formel die du geschrieben hast verstehe ich nicht ganz. mit dem strich über dem f meintest du ja die erste ableitung oder? aber warum die ableitung?? :)
thx & cu
bunti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Emily |
Hallo bunti,
hier ist nicht die Ableitung gemeint, sondern der größtmögliche Funktionswert im betreffenden Intervall.
Ein Supremum ist die kleinste obere Schranke.
z.B.: [a;b[ (mit a<b) hat das Minimum a und das Supremum b.
]a;b] (mit a<b) hat das Infimum a und das Maximum b.
Gruß Emily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:03 So 25.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Danke für die Antwort :)
Ich muss zuegeben das ich diese Wörter zum ersten mal höre^^
Ich schätze ich muss mich doch nochmal etwas damit auseinander setzen^^
thx & cya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 So 25.07.2004 | | Autor: | Emily |
Hallo bunti,
Du kannst ja versuchen dir das ganze noch mal zu veranschaulichen (ganz wichtig!).
Dann meldest du dich wieder.
Gruß Emily
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 25.07.2004 | | Autor: | Max80 |
hi.
also ich habe mir darüber jetzt nochmal was durchgelesen. ich habe das so verstanden, dass das Supremem praktisch die oberste Schranke ist.
Nur was du da geschrieben hast verstehe ich nicht ganz. Ich denke mal das schreiben der Klammern ] oder [ so rum war absicht. aber was genau hat das zu sagen? :)
cya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 25.07.2004 | | Autor: | Emily |
> hi.
> also ich habe mir darüber jetzt nochmal was durchgelesen.
> ich habe das so verstanden, dass das Supremem praktisch die
> oberste Schranke ist.
> Nur was du da geschrieben hast verstehe ich nicht ganz.
> Ich denke mal das schreiben der Klammern ] oder [ so rum
> war absicht.
Hallo Bunti!
Ja das war Absicht.
>aber was genau hat das zu sagen? :)
>
> cya
>
Also:
[mm] [a;b]:=\{x \ in R / a\le x\le b\} [/mm] a und b gehören dazu (abgeschlossenes Intervall).
[mm] ] a;b[:=\{x \ in R /a< x< b\} [/mm] a und b gehören nicht dazu (offenes Intervall).
[mm] [a;b[:=\{x \ in R / a\le x
zB.: [mm] f(x) = {1 \br x } [/mm] für x>0
Dann ist das Infimum der Funktionswerte inf(f(x)) = 0, dh. alle Funktionswerte sind > 0
Liebe Grüße
Emily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 So 25.07.2004 | | Autor: | Max80 |
ahhh. also sind a und b die größten werte. und wenn man sie ausschließt, sind sie ausserhalb des intervalls, richtig?? :))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 So 25.07.2004 | | Autor: | Emily |
> ahhh. also sind a und b die größten werte. und wenn man sie
> ausschließt, sind sie ausserhalb des intervalls, richtig??
> :))
>
Hallo Bunti!
a ist der kleinste Wert und b der größte.
[mm] I= [1;3] [/mm] besteht aus allen reellen Zahlen zwischen 1 und 3 einschließlich den Grenzen 1 und 3.
[mm] I= ]2;5[ [/mm] besteht aus allen reellen Zahlen zwischen 2 und 5 ohne die Grenzen 2 und 5.
[mm] I= ]1;9] [/mm] besteht aus allen reellen Zahlen zwischen 1 und 9 ohne die Grenze 1 und mit der Grenze 9
Liebe Grüsse
Emily.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 So 25.07.2004 | | Autor: | Max80 |
huch^^
sorry, so meinte ich das auch :)
also a und b sind praktisch am 'rand' des intervalls... :)
ist so typisch für mich. habe <= und < in der programmierung auch immer verwechselt^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 So 25.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> Ich habe mir das
> nämlich so gedacht, das ich die Funktion (also die Höhe des
> Rechtecks) selbst einfach wie bei der Breite durch
> subtrahieren von [mm]x_1-x_0.[/mm]
Diesen Satz verstehe ich nicht ganz -- was meinst du?
> Das scheint mir auch als möglich
> (bis jetzt) aber im Nachhinein Frage ich mich jetzt warum
> ich das ins Summenzeichen geschrieben hab. :D
> Also anders würde das jetzt so aussehen:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_i_-_1)
[/mm]
> könnte man das so nehmen? warscheinlich nicht oder? :(
Ja, ich denke schon, das man das so nehmen kann.
Bei der Einführung in die Integration betrachtet man zunächst nur monoton wachsende Funktionen, und für diese Funktionen fällt das Supremum (von dem du ja noch nichts gehört hattest) mit der rechten oberen Ecke des Rechtecks zusammen, also mit [mm] $f(x_i)$
[/mm]
Also: Diese Formel gilt für monoton wachsende Funktionen.
Den Fall monoton fallender Funktionen kann man dann auf monoton wachsende Funktionen zurückführen, und nicht monotone Funktionen kann man ggfs. in abschnittsweise monotone Funktionen zerlegen, so dass es (für die Schule) ausreicht, Ober- und Untersummen nur an monoton wachsenden Funktionen zu erklären.
> die formel die du geschrieben hast verstehe ich nicht
> ganz. mit dem strich über dem f meintest du ja die erste
> ableitung oder? aber warum die ableitung?? :)
Das hat Emily ja bereits geklärt.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 25.07.2004 | | Autor: | Max80 |
achso. ich dachte monoton fallend/wachsend wäre jetzt obersumme/untersumme. wo ist der unterschied zwischen monoton fallender/wachsender funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 25.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti,
> achso. ich dachte monoton fallend/wachsend wäre jetzt
> obersumme/untersumme.
Ja, das auch: Die Obersumme ist monoton fallend, die Untersumme monoton wachsend und die Funktion selbst monoton wachsend.
> wo ist der unterschied zwischen
> monoton fallender/wachsender funktionen?
Die Ober- und Untersumme ist ja eine Folge von Zahlen, da ist monoton wachsend folgendermaßen erklärt:
Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge.
[mm] \fbox{(a_n)_{n\in\IN} \mbox{ monoton wachsend}\ :\gdw\ a_n\le a_{n+1} \mbox{ für alle } n\in\IN}
[/mm]
Für Funktionen ist monoton wachsend ähnlich erklärt:
[mm] \fbox{f \mbox{ monoton wachsend}\ :\gdw\ f(x_1)\le f(x_2) \mbox{ für alle } x_1,x_2\in\IR \mbox{ mit } x_1
Analog für monoton fallend.
Monoton wachsende Funktionen sind beispielsweise: f(x)=x, [mm] f(x)=x^3, f(x)=x^2 [/mm] auf dem Intervall [mm] $[0,\infty]$, f(x)=e^x.
[/mm]
Beispiele für monoton wachsende Folgen: [mm] a_n=n, a_n=n^2 [/mm] etc.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 25.07.2004 | | Autor: | Max80 |
was ist a bei dem oberen kästchen? :)
also ist monoton wachsend praktisch immer so zu verstehen, das der
wert nur größer, aber nicht kleiner wird...oder?
also bei dem unteren kästchen ist der wert für y bei größerem x ausschließlich größer, nicht kleiner (das wäre sonst monoton fallend, oder?). aber wofür steht das a in dem oberen kästchen? :)
cya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 So 25.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> was ist a bei dem oberen kästchen? :)
Das a ist der "Name" der Folge. [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist eine Folge von Zahlen.
Die Obersumme [mm] $S_n$ [/mm] ist z.B. eine solche Folge von Zahlen.
Stelle dir unter einer Folge einfach eine (unendliche lange) Liste von Zahlen vor:
[mm] $(a_n)_{n\in\IN}=a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots$
[/mm]
z.B. [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=1,4,2,45,78,3,2,1,4,78,\ldots$
[/mm]
Hier haben dann die einzelnen Folgenglieder die Werte
[mm] a_1=1
[/mm]
[mm] a_2=4
[/mm]
[mm] a_3=2
[/mm]
[mm] a_4=45
[/mm]
[mm] a_5=\ldots
[/mm]
> also ist monoton wachsend praktisch immer so zu verstehen,
> das der
> wert nur größer, aber nicht kleiner wird...oder?
> also bei dem unteren kästchen ist der wert für y bei
> größerem x ausschließlich größer, nicht kleiner (das wäre
> sonst monoton fallend, oder?).
> aber wofür steht das a in
> dem oberen kästchen? :)
s.o.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:31 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Also so wie das jetzt da steht hab ich das (glaube ich^^) verstanden.
Aber da hier beide Fälle geklärt sind, ist es da nicht egal, ob man Supremum oder Infimum nimmt??
cya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Bunti,
vielleicht noch einmal zur Verdeutlichung:
[mm] sup \{f(x) \mid x_{i-1} \le x \le x_i \} [/mm]
ist die obere Schranke der Funktion auf dem Intervall [mm] [x_{i-1}, x_i],
[/mm]
das heißt die obere Schranke aller Funtionswerte, die von x-Werten zwischen [mm] x_{i-1} [/mm] und [mm] x_i [/mm] angenommen werden. Falls der Wert des Supremums auch von der Funktion angenommen wird, spricht man von einem Maximum.
Beispiele:
[mm] f(x) = -x^2 [/mm]
Dann ist [mm] sup \{f(x) \mid -1 \le x \le 1 \}=0 [/mm] und für [mm] x=0 [/mm] ist [mm] f(x)=0 [/mm]. Also ist 0 auch Maximum.
[mm] f(x) = - \bruch {1} {x} [/mm] (Beispiel von Emily)
Dann ist [mm] sup \{f(x) \mid 0 < x < unendlich\}=0 [/mm], aber es gibt kein [mm] x [/mm] so dass [mm] f(x)=0 [/mm]. Also ist 0 kein Maximum.
[mm] inf \{f(x) \mid x_{i-1} \le x \le x_i \} [/mm]
ist die untere Schranke der Funktion auf dem Intervall [mm] [x_{i-1}, x_i] [/mm], das heißt die untere Schranke aller Funtionswerte, die von x-Werten zwischen [mm] x_{i-1} [/mm] und [mm] x_i [/mm] angenommen werden. Falls der Wert des Infimums auch von der Funktion angenommen wird, spricht man von einem Minimum.
Als Beispiel brauchst du nur das Vorzeichen der beiden Funktionen wegnehmen.
Es ist also nicht egal, ob man Infimum oder Supremum nimmt.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Di 27.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Also nachdem ich mir jetzt nochmal ne dicke PDF darüber durchgelesen ist mir einiges klar geworden. auch das mit den schranken. eine letzte Frage bleibt da irgendwie immer noch^^ :)
und zwar hast (Paulus) für die Summe der Obersumme bei monoton fallenden und steigenden das Supremum verwendet. Ein Supremum ist ja die kleinste obere Schranke, aber so wie unten steht, wird bei einem Supremum der wird von x nicht angenommen. müsste man dann nicht Maximum nehmen? Denn Beim angrenzen wird doch eigentlich auch der Wert der funktion von der Schranke berührt, oder?
thx & cu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Di 27.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Guten Morgen Bunti,
ein Supremum kann, muss aber nicht angenommen werden. Wenn du aber auf abgeschlossenen Intervallen, also z.B. [1,2], arbeitest (wie ja in der Definition von Paulus), dann wird das Supremum sowieso immer angenommen, ist also auch ein Maximum.
Das Problem tritt auf, wenn man auf halboffenen oder offenen Intervallen arbeitet, also [1,2[ oder ]1,2[.
Wenn du das noch genauer wissen willst, dann melde dich nochmal!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Di 27.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Guten Morgen :)
Ich dachte zuvor ein Supremum DARF nicht eingeschlossen werden
Aber wie würde man denn ein offenen Intervall integrieren??? Weil bei
[1,2[ ist ja die 2 nicht mit eingeschlossen. wo ist dann die grenze? bei 1,9999999...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Di 27.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Bunti!
> Ich dachte zuvor ein Supremum DARF nicht eingeschlossen
> werden
Also, wie gesagt: Das Supremum eines Intervalls ist die kleinste obere Schranke des Intervalls. Liegt diese innerhalb des Intervalls, dann nennt man sie auch Maximum des Intervalls. Ein Maximum ist also ein spezielles Supremum.
> Aber wie würde man denn ein offenen Intervall
> integrieren??? Weil bei
> [1,2[ ist ja die 2 nicht mit eingeschlossen. wo ist dann
> die grenze? bei 1,9999999...?
Dort nimmt als obere Intervallgrenze ebenfalls die $2$. Glücklicherweise ändert sich nämlich der Wert des Integrals nichts, wenn man aus dem Intervall einen Punkt entfernt. Solange man endlich viele Punkte entfernt oder hinzutut, bleibt der Wert des Integrals gleich.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Di 27.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann sind bei den bisherigen Funktionen das Supremum bei geschlossenem Intervall auch immer gleichzeitig Maximum. Was wäre ein Beispiel für ein Supremum ohne Maximum? Also gibt es bei einer Obersumme sowas überhaupt? Weil um die Obersumme zu bestimmen, muss man doch einen geschlossenen Intervall haben oder? Und da hat man ja gleichzeitig wieder ein Maximum...
Liege ich da richtig?? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 27.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, um Missverständnisse zu vermeiden:
Du musst zwei Sachen unterscheiden:
Das Supremum (Maximum) eines Intervalls und das Supermum (Maximum) der Funktion, die auf diesem Intervall definiert ist.
Das Supremum des Intervalls $[a,b]$ (oder auch des Intervalls $[a,b[$) ist $b$, die kleinste obere Schranke des Intervalls. Im Falle $[a,b]$ nennt man $b$ auch Maximum.
Das Supremum der Funktion $f$ auf dem Intervall $[a,b[$ ist die kleinste obere Schranke der Funktionswerte. Wenn wir ein Intervall $[a,b]$ betrachten (und $f$ stetig ist, was bei euch immer der Fall sein dürfte), dann entspricht dies einem Funktionswert [mm] $f(\xi)$ [/mm] für irgendeine [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$. Dann ist also das Supremum der Funktion gleich dem Maximum der Funktion. Hierbei muss nicht [mm] $\xi [/mm] = b$ sein. Es ist es aber dann, wenn die Funktion $f$ monoton steigend auf $[a,b]$ ist. Ist $f$ monoton fallend, dann ist [mm] $\xi=a$.
[/mm]
Nun musst du dein Intervall $[a,b]$ zerlegen:
$a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] x_n=b$.
[/mm]
Die Obersumme ist
$O(f) = [mm] \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i [/mm] - [mm] x_{i-1})$,
[/mm]
wobei [mm] $f(\xi_i)$ [/mm] das Supremum (also der größte Funktionswert) im Intervall [mm] $[x_{i-1},x_i]$ [/mm] ist. Wenn $f$ monoton steigend ist, dann ist [mm] $f(\xi_i)=f(x_i)$, [/mm] wenn $f$ monoton fallend ist, dann ist [mm] $f(\xi_i)=f(x_{i-1})$.
[/mm]
Jetzt klarer?
Was ich vorhin meinte: Wenn du statt dem Intervall $[a,b]$ das Intervall $[a,b[$ oder das Intervall $]a,b]$ oder das Intervall $]a,b[$ gegeben hättest, dann hättest du alles genauso machen können. Aber vermutlich hat dich das eher verwirrt, da ihr eh immer nur abgeschlossene Intervalle $[a,b]$ betrachtet, nehme ich mal an.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Di 27.07.2004 | | Autor: | Max80 |
achsoo. ich glaube jetzt habe ich es verstanden. ich habe mir das mal aufgezeichnet. wenn die funktion statt wachsend, fallend ist, so schlägt wie funktion auf die andere ecke des rechtecks, und dadurch ändert sich das verhältnis. *erleucht* ^^
danke für eure hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 27.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Sorry, ich habe da doch noch eine kleine Frage dazu^^
Eigentlich ganz klein, eher fürs Verständnis. Wenn ich jetzt statt der Obersumme die Untersumme nehmen würde, müsste ich also stattdessen den kleinsten Wert, also das Infimum(Minimum) nehmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Di 27.07.2004 | | Autor: | Astrid |
> Sorry, ich habe da doch noch eine kleine Frage dazu^^
> Eigentlich ganz klein, eher fürs Verständnis. Wenn ich
> jetzt statt der Obersumme die Untersumme nehmen würde,
> müsste ich also stattdessen den kleinsten Wert, also das
> Infimum(Minimum) nehmen, oder?
>
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
