Obersumme und Untersumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Zerlegen sie das Intervall I = [a,b] mit a < b in n gleichlange Teilintervalle geben Sie die Obersummen O(n) bzw. U(n) in Abhänigkeit von n an.
c) f(x) = sin(x)
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Mein Ansatz
U(n) = sin [mm] (x_{i-1})
[/mm]
O(n) = [mm] sin(x_i)
[/mm]
U(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n}*sin((i [/mm] -1)*a/n)
= a/n [mm] *\summe_{j=0}^{n-1}*sin(j*a/n)
[/mm]
Nun weiss ich nicht wie ich diese Summe auflösen soll...
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> Zerlegen sie das Intervall I = [a,b] mit a < b in n
> gleichlange Teilintervalle geben Sie die Obersummen O(n)
> bzw. U(n) in Abhänigkeit von n an.
>
> f(x) = sin(x)
>
> Mein Ansatz
>
> U(n) = sin [mm](x_{i-1})[/mm]
> O(n) = [mm]sin(x_i)[/mm]
>
> U(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n}*sin((i[/mm] -1)*a/n)
>
> = a/n [mm]*\summe_{j=0}^{n-1}*sin(j*a/n)[/mm]
>
> Nun weiss ich nicht wie ich diese Summe auflösen soll...
Hallo Lisa,
Ich würde hier zuerst mal noch verlangen, dass
$\ [mm] -\bruch{\pi}{2}\le a
Dann ist erst klar (weil [mm] \sin [/mm] in diesem Bereich
streng monoton steigend ist), dass man für die
Untersumme den Funktionswert bei [mm] x_{i-1} [/mm] und für die
Obersumme den bei [mm] x_i [/mm] nehmen kann.
Oben hast du U(n) einmal für einen Funktions-
wert und dann für die Summe geschrieben.
Geht natürlich nicht ...
Ferner ist die Intervall-Länge nicht a, sondern
b-a.
Für den Wert [mm] x_i [/mm] gilt:
$\ [mm] x_i=a+i*h$ [/mm] , wobei [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm] .
Ich weiss nicht, ob in deiner Übung die ent-
stehenden Summen tatsächlich vereinfacht
werden sollen. Es gibt dazu zwar gewisse
Formeln, die man in den ganz dicken Formel-
sammlungen aufstöbern kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
die summen sollen so vereinfacht werden, dass ich am schluss die formel -cos(b) -(-cos(a)) bekomme dazu muss ich eine Summenformel für die Obersumme und eine für die Untersumme aufstellen es ist kein Intervall mit pi gegeben und ich würde gerne wissen wie man die summenformel löst...
ich habe keine theorie dazu deshalb frage ich...
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> die summen sollen so vereinfacht werden, dass ich am
> schluss die formel -cos(b) -(-cos(a)) bekomme dazu muss ich
> eine Summenformel für die Obersumme und eine für die
> Untersumme aufstellen
> es ist kein Intervall mit pi gegeben
Wenn dies nicht der Fall ist und man für
die Berechnung von [mm] O_n [/mm] jeweils immer
den Funktionswert [mm] x_i [/mm] nimmt, wird
[mm] O_n [/mm] nicht das, was man gemeinhin
als "Obersumme" versteht, nämlich eine
Summe, die garantiert grösser oder
gleich dem Integral ist. Dann hat man
aber ein Problem mit dem Konvergenz-
beweis.
Wenn man es so locker nimmt und
auf die Konvergenz vertraut (muss ja
eigentlich so sein, weil die Sinusfunk-
tion differenzierbar ist und [mm] |(sin(x))'|\le{1}, [/mm]
kann man getrost nur diese "Schein-
Obersummen" verwenden und auf die
"Schein-Untersummen" ganz verzichten !
Für eine korrekte Behandlung wäre es
jedoch problemlos, zunächst nur in dem
eingeschränkten Intervall zu bleiben, wo
[mm] \sin [/mm] streng monoton ist. Mittels Periodi-
zität lassen sich die Ergebnisse dann
leicht verallgemeinern.
> und ich würde gerne wissen wie man
> die summenformel löst...
> ich habe keine theorie dazu deshalb frage ich...
Mir ist nur nicht recht klar, wie man dies
ohne gewisse vorgängige Theorie lösen
können soll - bin im Moment etwas
überfragt - aber vielleicht geht es ja doch
einfacher als gedacht ...
Wer weiß Rat ?
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
mein Vorschlag ist als gegeben anzunehmen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}*sin(kt) [/mm] = cos(n -1/2)*t/ (2*cos*1/2*t)
damit würde ich weiterfahren geht das?
danke für die antwort
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> mein Vorschlag ist als gegeben anzunehmen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}*sin(kt)[/mm] = cos(n -1/2)*t/ (2*cos*1/2*t)
>
> damit würde ich weiterfahren geht das?
>
> danke für die antwort
Hallo Lisa,
die Formel kommt mir jetzt nicht gerade
bekannt vor, aber man könnte ja versuchen,
sie durch vollständige Induktion zu beweisen,
sie damit dem persönlichen Repertoire einzu-
verleiben und dann guten Gewissens einzu-
setzen.
LG Al
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:04 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
doch doch ich würde es beweisen mit
cos kt= 1/2(e^ikt + e^-ikt)
damit sollte man es können habe nachgeschlagen
LG
lisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:15 So 19.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich würde mich freuen wenn sich jemand dies ansehen würde
danke
gruss
lisa
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> doch doch ich würde es beweisen mit
Hallo,
offensichtlich erwartest Du noch irgendwelche Reaktionen -sonst gäb#s ja nicht den roten Kasten und Deine Nachfrage.
Es ist aber nicht zu erkennen, in welche Richtung die erwartete Hilfe gehen sollen. Ich seh die Frage nicht.
Du schreibst: "Ich würde es beweisen". Dazu kann ich nur sagen: "Ja, dann mach es doch."
Gruß v. Angela
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> mein Vorschlag ist als gegeben anzunehmen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}*sin(kt)[/mm] = cos(n -1/2)*t/ (2*cos*1/2*t)
>
> damit würde ich weiterfahren geht das?
Hallo,
auch ich bin nicht sehr überzeugt von Deiner Formel:
wenn ich n=1 einsetzt, dann bekomme ich
[mm] \sin t=\cos( [/mm] -1/2)*t/ (2*cos*1/2*t) ,
und das scheint mir nicht zu stimmen.
Gruß v. Angela
>
> danke für die antwort
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 So 19.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich gehe davon aus :
sin(kt)= [mm] \frac {e^{ikt}- e^{-ikt}}{2}
[/mm]
ich nehme dies und beweise :
1/2 + [mm] \summe_{k=1}^{n}*sin(kt)
[/mm]
= [mm] 1/2\summe_{k=-n}^{n}*e^{{(it)}k}
[/mm]
= [mm] e^{-int}\summe_{k=0}^{2n}*e^{(it)*k}
[/mm]
= [mm] e^{-int}* \frac{(1 + e^{(2n-1)*it})}{1 + e^{it}}
[/mm]
multiplizieren mit [mm] -e^{{1/2}*it} [/mm] auf beiden seiten
--> [mm] \frac{e^{(n-1/2)*it}+ e^{-(n-1/2)*it}}{e^{(1/2)*it}+{e^{(-1/2)*it}}}
[/mm]
= [mm] \frac{cos(n - 1/2)*t}{2*cos*1/2*t}
[/mm]
damit fahre ich dann weiter um zu beweisen damit ich die Untersumme bilden kann mit
[mm] \summe_{j}sin*t_j\Delta x_j [/mm]
wobei [mm] t_j=x_j [/mm] und [mm] x_j= \frac{a*j}{n} [/mm] gilt
kann man dies so ansetzen?
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> ich gehe davon aus :
>
> sin(kt)= [mm]\frac {e^{ikt}- e^{-ikt}}{2}[/mm]
>
> ich nehme dies und beweise :
Hallo,
da das doch gar nicht stimmt, solltest Du es nicht zum Beweisen verwenden...
>
> 1/2 + [mm]\summe_{k=1}^{n}*sin(kt)[/mm]
???
Was willst Du genau zeigen?
> = [mm]1/2\summe_{k=-n}^{n}*e^{{(it)}k}[/mm]
Woher kommt diese Gleichheit?
>
> = [mm]e^{-int}\summe_{k=0}^{2n}*e^{(it)*k}[/mm]
>
> = [mm]e^{-int}* \frac{(1 + e^{(2n-1)*it})}{1 + e^{it}}[/mm]
>
> multiplizieren mit [mm]-e^{{1/2}*it}[/mm] auf beiden seiten
>
> --> [mm]\frac{e^{(n-1/2)*it}+ e^{-(n-1/2)*it}}{e^{(1/2)*it}+{e^{(-1/2)*it}}}[/mm]
>
> = [mm]\frac{cos(n - 1/2)*t}{2*cos*1/2*t}[/mm]
Gleich was soll Dein " [mm]\frac{cos(n - 1/2)*t}{2*cos*1/2*t}[/mm]" jetzt sein?
Daß es nicht = [mm]\summe_{k=1}^{n}*sin(kt)[/mm] ist,
sollte ich mit meinem Hinweis von heute morgen doch überzeugend dargelegt haben, und =1/2 + [mm]\summe_{k=1}^{n}*sin(kt)[/mm] stimmt auch nicht.
Du brauchst es doch bloß mal für n=1 zu testen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 So 19.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
tut mir leid jetzt weiss ich ehrlich nicht mehr wie ich anfangen soll...
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Hallo Lisa,
ich würde dir raten, einmal die Formeln aus
dem ![[]](/images/popup.gif) antiquarischen Werk das ich aufgestöbert
habe zu nutzen. Die finden sich dort auf Seite
300. Damit kann man z.B. die Obersumme [mm] O_n [/mm] um-
formen und dann den Limes für [mm] n\to\infty [/mm] bilden.
Es klappt, habe es ausprobiert.
Du kannst dann auch noch versuchen, diese For-
meln durch vollständige Induktion zu bestätigen.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 08:41 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
mein Ansatz:
Sei [mm] \summe_{k=1}^{n}*sin(kt)= \frac{cos(k -t/2) - cos(k+\frac{2*n+1}{2}*t)}{2*sin*t/2}= [/mm] S
mit
[mm] S_{n\rightarrow\infty}= \frac{cos(k-t/2)}{2*sin*t/2}
[/mm]
davon bilde ich dann die Obersumme mit
[mm] \summe_{k}*sin*t_j*\Delta x_j [/mm] =
[mm] \summe_{j=1}^{n}a/n*sin [/mm] *j*a/n
= a/n* [mm] \frac{cos(k-1/2)*a/n}{2*sin*a/n*2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
statt a/n nehme ich a/k
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich wäre froh wenn mir jemand einen hinweis gibt bezüglich meiner Rechnung und sich das ansieht...
danke
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> mein Ansatz:
>
> Sei [mm] \summe_{k=1}^{n}*sin(kt)= \frac{cos(k -t/2) - cos(k+\frac{2*n+1}{2}*t)}{2*sin*t/2}
[/mm]
Hallo,
Du schreibst "sei Summe...".
Du kannst die Summe ja nicht gleich irgendwas setzen.
Wahrscheinlich meinst Du eher "Es ist Summe...":
Doch wo kommt die Erkenntnis, daß die rechte und linke Seite gleich sind, her?
Das stimmt doch nicht.
Vielleicht fehlen ja Klammern notwendige Klammern - aber darüber solltest lieber Du nachdenken.
Gruß v. Angela
>=
> S
>
> mit
> [mm]S_{n\rightarrow\infty}= \frac{cos(k-t/2)}{2*sin*t/2}[/mm]
>
> davon bilde ich dann die Obersumme mit
>
> [mm]\summe_{k}*sin*t_j*\Delta x_j[/mm] =
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n}a/n*sin[/mm] *j*a/n
>
> = a/n* [mm]\frac{cos(k-1/2)*a/n}{2*sin*a/n*2}[/mm]
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
die erste Formel mit Summe habe ich aus einem Formelbuch
AL Chw. hat es erwähnt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich meine damit wenn ich n gegen unendlich laufen lasse bekomme ich die Formel mit Cosinus vielleicht habe ich das falsch hingeschrieben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich entnahm folgendes aus dem Buch
für die Reihe
[mm] sin(\alpha) [/mm] + [mm] sin(\alpha+\phi) +....+sin(\alpha+n*\phi)
[/mm]
ist die Summe und deswegen setze ich [mm] \summe_
[/mm]
S= [mm] \frac{cos(\alpha-\phi/2) - cos(\alpha + \frac{2*n+1}{2} *\phi)}{2*sin * \phi/2}
[/mm]
lasse ich die Summe gegen unendlich laufen bekommen ich
[mm] cos\frac{\alpha - \phi/2}{2*sin*\phi/2}
[/mm]
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> ich entnahm folgendes aus dem Buch
> für die Reihe
> [mm]sin(\alpha)[/mm] + [mm]sin(\alpha+\phi) +....+sin(\alpha+n*\phi)[/mm]
>
> ist die Summe und deswegen setze ich [mm]\summe_[/mm]
>
> S= [mm]\frac{cos(\alpha-\phi/2) - cos(\alpha + \frac{2*n+1}{2} *\phi)}{2*sin * \phi/2}[/mm]
>
> lasse ich die Summe gegen unendlich laufen bekommen ich
>
> [mm]cos\frac{\alpha - \phi/2}{2*sin*\phi/2}[/mm]
>
>
>
Aha,
aber Du wolltest ja nun
[mm] \summe_{k=1}^{n}sin(kt) [/mm] ausrechnen.
Was ist denn - sofern Du obige Summendarstellung verwenden willst, Dein [mm] \alpha?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 21.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich mache morgen weiter danke für die hilfe
gruss
e.w.
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Hallo Lisa,
für deine "Pseudo-Obersumme" [mm] O_n [/mm] (für welche
man strikt in jedem kleinen Teilintervall den
Funktionswert am rechten Intervallende benützt)
gilt die Formel:
$\ [mm] O_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=1}^{n}h*sin(a+k\,h)\ [/mm] =\ [mm] h*\summe_{k=1}^{n}sin(a+k\,h)$
[/mm]
wobei [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm] die Breite des einzelnen Intervalls ist.
Dies kann man mit dem Additionstheorem der
Sinusfunktion umformen zu:
$\ [mm] O_n\ [/mm] =\ [mm] h*\summe_{k=1}^{n}(sin(a)\ cos(k\,h)+cos(a)\ sin(k\,h))$
[/mm]
$\ \ =\ [mm] h*\left[sin(a)*\summe_{k=1}^{n}\ cos(k\,h)\ +\ cos(a)*\summe_{k=1}^{n}\ sin(k\,h)\right]$
[/mm]
An dieser Stelle kann man jetzt die Formeln aus
der Formelsammlung einsetzen.
Nachher bleibt die Grenzwertrechnung für [mm] n\to\infty [/mm] .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
vielen lieben dank ich probiere es hier weiter...
gruss
lisa
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 08:49 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
mein Vorschlag für die Summe vom Cosinus und Sinus:
[mm] \summe_{k=1}^{n}*cos(kh)= [/mm] - [mm] \frac{sin(n - 1/2)*h}{2*sin*1/2*h}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}*sin(kh) [/mm] = [mm] \frac{cos(n - 1/2)*h}{2*sin*1/2*h}
[/mm]
ist dies ganz falsch damit weiterzufahren?
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> mein Vorschlag
Hallo,
Dein Vorschlag scheint mir nicht zu stimmen. (ich habe mal n=1 eingesetzt.)
Wo kommt dieser "Vorschlag" her?
Warum verwendest Du nicht die Formeln aus Al Chwarizmis Buch?
(Wenn Du sie verwendest, gib die Seitenzahl mit an, dann kann man gucken, ob Du sie richtig abgeschrieben hast.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
Seite 299 und ff
ich nehme für [mm] \alpha [/mm] n und für [mm] \phi/2 [/mm] = h/2 ist das falsch?
gehe von der Formel aus [mm] \frac{sin(\alpha -\phi/2)}{2*sin*\phi/2}
[/mm]
es gibt 2 Formeln im Buch eine für den Sinus und eine für den Cosinus
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> Seite 299 und ff
Hallo,
auf S.300 gibt's die Formeln, die Du benötigst, bereits als Fertiggericht, Al Chwarizmi hatte, als er das schöne Buch vorstellte, bereits daraufhingewiesen.
Du kannst natürlich auch mit denen von S.299 arbeiten - aber Du mußt es richtig machen.
> ich nehme für [mm]\alpha[/mm] n und für [mm]\phi/2[/mm] = h/2 ist das
> falsch?
Ja. Du kannst doch nicht für [mm] \alpha [/mm] "n nehmen".
Überleg Dir doch mal, was [mm] \summe_{k=1}^{n}\sin [/mm] (kt) bedeutet:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\sin(kt)=\sin (1t)+\sin (2t)+\sin (3t)+\sin [/mm] (4t)+ [mm] ...\sin [/mm] (nt).
Nun vergleiche mit S.299. Was ist [mm] \alpha [/mm] bei Dir?
Daß das [mm] \varphi [/mm] des Buches Deinem t entspricht, stimmt ja.
Gruß v. Angela
>
> gehe von der Formel aus [mm]\frac{sin(\alpha -\phi/2)}{2*sin*\phi/2}[/mm]
>
> es gibt 2 Formeln im Buch eine für den Sinus und eine für
> den Cosinus
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[mm] $\summe_{k=1}^{n}sin(k*h)=\bruch{sin(\bruch{n+1}{2}\,h)*sin(\bruch{n}{2}\,h)}{sin(\bruch{h}{2})}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}cos(k*h)=\bruch{cos(\bruch{n+1}{2}\,h)*sin(\bruch{n}{2}\,h)}{sin(\bruch{h}{2})}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
vielen Dank anscheinend bin ich von falschen formeln ausgegangen so kann ich jetzt weitermachen danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
sind sie sicher für beide die gleichen formeln komisch ?
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> sind sie sicher für beide die gleichen formeln komisch ?
Hallo,
Du mußt langsam und sorgfältig arbeiten und auch lesen, nicht so grad mal eben husch husch.
Alles ginge schneller bei Dir, würdest Du Dein Tempo etwas drosseln.
Die Formeln sind doch nicht gleich.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
es ist h = [mm] \frac{b-a}^{n}
[/mm]
wenn ich nur mit der Obersumme rechne fällt das b weg und
ich habe nur [mm] \frac{a}^{n}
[/mm]
kann ich dies so annehmen?
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> es ist h = [mm]\frac{b-a}^{n}[/mm]
>
> wenn ich nur mit der Obersumme rechne fällt das b weg
Nein!
Erinnerst Du Dich noch daran, was a und b sind?
Das sind doch die beiden Intervallenden, über denen Du Deine Funktion betrachtest.
Die bleiben felsenfest, ehal, was Du tust.
Du zerlegst das Intervall ja für Deine Berechnung in n Teile, von denen jedes die Breite h = [mm]\frac{b-a}^{n}[/mm] hat.
Für Deine Pseudo-Obersumme betrachtest Du nun immer den Funktionswert am rechten Intervallrand der n Teilintervalle - aber die Intervalle als solche bleiben davon doch völlig unberührt.
Das einzige, was mit diesen Teilintervallen passiert, ist, daß sie immer kleiner werden, wenn Dein n wächst.
(Vielleicht schaust Du Dir, bevor Du weitermachst, nochmal Deine Skizzen an und vergegenwärtigst Dir, was Du überhaupt tust.
Nicht daß der Sinn des Ganzen vor lauter Summendarstellungswirrwarr untergeht.)
Gruß v. Angela
> ich habe nur [mm]\frac{a}^{n}[/mm]
>
> kann ich dies so annehmen?
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
nach den Ratschlägen von allen komme ich nun auf die Formel:
[mm] {\frac{b-a}^{n}}\left[sin(a)* \frac{cos*(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n}) *sin(\frac{n}{2}*\frac{b-a}{n})}{sin*\frac{b-a}^{2n}}\right] +{\frac{b-a}^{n}}\left[cos(a) *\frac{sin*(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})*sin(\frac{n}{2}*\frac{b-a}{n})}{sin*\frac{b-a}^{2n}}\right]
[/mm]
dann lasse n gegen [mm] \infty [/mm] laufen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
dies sollte oben eine frage sein
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> nach den Ratschlägen von allen komme ich nun auf die
> Formel:
>
> [mm]{\frac{b-a}^{n}}\left[sin(a)* \frac{cos*(n+1/2)*(b-a/n) *sin(n/2)*(b-a/n)}{sin*\frac{b-a}^{2n}}\right] +{\frac{b-a}^{n}}\left[cos(a) *\frac{sin(n+1/2)*(b-a/n)*sin(n/2)*(b-a/n)}{sin*\frac{b-a}^{2n}}\right][/mm]
da fehlen noch tonnenweise korrekt
gesetzte Klammern !!!
bitte doch sehr um etwas Sorgfalt !
sonst wird das extrem mühsam
> dann lasse n gegen [mm]\infty[/mm] laufen
Beachte dabei, dass [mm] $\limes_{x\to 0}\ \bruch{x}{sin(x)}\ [/mm] =\ 1$
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Do 23.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
für den ersten Term bekomme ich:
[mm] \frac{b-a}{n}*sin(a)*n [/mm] = (b-a) * sin(a) kann dies sein?
muss ich dies mit der Regel von L' Hospital lösen ?
kann ich
[mm] \frac{sin*(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})*\frac{b-a}{n}*sin\frac{n}{2}}{sin\frac{b-a}{n}}
[/mm]
=
[mm] sin(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})* sin\frac{n}{2}
[/mm]
und dies weiter auflösen mit n gegen [mm] \infty [/mm] ?
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> für den ersten Term bekomme ich:
>
> [mm]\frac{b-a}{n}*sin(a)*n[/mm] = (b-a) * sin(a) kann dies sein?
>
> muss ich dies mit der Regel von L' Hospital lösen ?
>
> kann ich
>
> [mm]\frac{sin*(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})*\frac{b-a}{n}*sin\frac{n}{2}}{sin\frac{b-a}{n}}[/mm]
> =
>
> [mm]sin(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})* sin\frac{n}{2}[/mm]
>
> und dies weiter auflösen mit n gegen [mm]\infty[/mm] ?
Wenn man den Hauptnenner $\ sin(h/2)$ aus der eckigen
Klammer herauszieht, steht vor der Klammer der
Bruch [mm] \frac{h}{sin(h/2)}, [/mm] der für [mm] h\to{0} [/mm] gegen 2 strebt.
Dies kann man z.B. mit L'Hospital nachweisen.
Innerhalb der Klammer kann man für [mm] n\to\infty
[/mm]
alle Terme der Art [mm] $\left(\frac{n}{2}*h\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\left(\frac{n+1}{2}*h\right)$
[/mm]
durch [mm] \left(\frac{b-a}{2}\right) [/mm] ersetzen.
Was dann bleibt, ist:
$\ [mm] 2\,sin\left(\frac{b-a}{2}\right)*\left[sin(a)*cos\left(\frac{b-a}{2}\right)+cos(a)*sin\left(\frac{b-a}{2}\right)\right]$
[/mm]
Der neue Term in der eckigen Klammern ruft
nach einem Additionstheorem, und was dann
noch bleibt, ist eine weitere trigonometrische
Umformung.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Do 23.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
vielen Dank für den Hinweis werde dies weiter auflösen...
gruss
lisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 23.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ist dies richtig?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})
[/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos(\frac{n+1}{n}*\frac{b-a}{2})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cos((1 + [mm] \frac{1}{n}) *(\frac{b-a}{2}))
[/mm]
= [mm] cos((1+0)*(\frac{b-a}{2}))
[/mm]
= [mm] cos(1*\frac{b-a}{2})
[/mm]
= [mm] cos(\frac{b-a}{2})
[/mm]
das ganze gibt dann mit dem Additionstheorem
[mm] -2*sin(\frac{b-a}{2})\left[sin*(a+\frac{b-a}{2})\right]
[/mm]
[mm] =-2*sin(\frac{b-a}{2})\left[sin*(\frac{b+a}{2})\right]
[/mm]
cos(b)-cos(a)
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> ist dies richtig?
>
> [mm]cos(\frac{n+1}{2}*\frac{b-a}{n})[/mm]
> =
> [mm]cos(\frac{n+1}{n}*\frac{b-a}{2})[/mm]
>
> = cos((1 + [mm]\frac{1}{n}) *(\frac{b-a}{2}))[/mm]
> =
> [mm]cos((1+0)*(\frac{b-a}{2}))[/mm]
>
> = [mm]cos(1*\frac{b-a}{2})[/mm]
>
> = [mm]cos(\frac{b-a}{2})[/mm]
Hallo,
so wie's jetzt dasteht, ist's nicht richtig, wenn Du alerdings noch an den passenden Stellen "lim" spendierst, dann stimmt's.
>
>
> das ganze
Welches Ganze?
(Bedenke, daß man nicht en ganzen Thread im Kopf haben kann. Ich weiß jetzt jedenfalls nicht, welche Gleichung Du gerade bearbeitest.)
> gibt dann mit dem Additionstheorem
>
> [mm]-2*sin(\frac{b-a}{2})\left[sin*(a+\frac{b-a}{2})\right][/mm]
> [mm]=-2*sin(\frac{b-a}{2})\left[sin*(\frac{b+a}{2})\right][/mm]
>
>
> = cos(b)-cos(a)
Diese Umformungen stimmen, und es kommt ja auch das Ergebnis heraus, welches man sich wünscht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Do 23.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich habe mit den letzten Ausdruck von Al.Chw. weitergerechnet und entsprechend eingesetzt, so wie ich das sehe muss man gar nicht mehr die Obersumme berechnen ich habe ja schon das komplette Ergebnis...
gruss
lisa
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> sind sie sicher für beide die gleichen formeln komisch ?
Die korrekten Formeln stehen in der anderen
Mitteilung. Ich habe versehentlich auf den
"Senden"-Button geklickt, bevor sie fertig
geschrieben waren. Im Moment treibt mich
wieder mal die lausige DSL-Verbindung, die
ich hier habe, fast zum Wahnsinn...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Mi 22.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
smile ja das kommt vor mit den Verbindungen oft gehen sie nicht und man sollte auf eine andere umsteigen es ist zu überlegen...ich dachte das sie sich verschrieben haben smile...
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Also hier mal die richtigen Formeln mit den
hier passenden Bezeichnungen, damit sie
einmal hier stehen:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}sin(k*h)=\bruch{sin(\bruch{n+1}{2}\,h)*sin(\bruch{n}{2}\,h)}{sin(\bruch{h}{2})}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}cos(k*h)=\bruch{cos(\bruch{n+1}{2}\,h)*sin(\bruch{n}{2}\,h)}{sin(\bruch{h}{2})}$
[/mm]
Ich habe die Formeln nochmals neu gesucht,
diesmal in einem Buch, das ich selber besitze.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 23.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
wie lautet die Formel für die Untersumme für das Ganze?
gruss
lisa
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> wie lautet die Formel für die Untersumme für das Ganze?
Och menno! Bitte etwas eigene Aktivität!
Es hatte Dir Al Chwarizmi doch die (Pseudo-)Obersumme aufgeschrieben, die Summe, wenn man die Funktionswerte am Intervallende verwendet:
> > > > > $ \ [mm] O_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=1}^{n}h\cdot{}sin(a+k\,h)\ [/mm] =\ [mm] h\cdot{}\summe_{k=1}^{n}sin(a+k\,h) [/mm] $.
Wenn Du verstanden hast, was dort getan wurde, dann sollte Dir das Hinschreiben der Untersumme nicht mehr allzu schwer fallen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Fr 24.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
in diesem Falle geht man dann bei der Untersumme von
[mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] aus der Rest bleibt gleich nur der Laufindex ändert sich.
kann dies sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lisa!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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> in diesem Falle geht man dann bei der Untersumme von
> [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] aus der Rest bleibt gleich nur der
> Laufindex ändert sich.
>
> kann dies sein?
Hallo,
Dir ist aber klar, daß hier die Summation eigentlich bei k=0 beginnt?
Da allerdings sin(0)=0 ist, ist das in diesem Falle unerheblich.
Beim cos hingegen würde es einen Unterschied machen.
Gruß v. Angela
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> wie lautet die Formel für die Untersumme für das Ganze?
Wie schon gesagt, handelt es sich bei [mm] O_n [/mm]
und [mm] U_n [/mm] nur dann um echte Obersummen bzw.
Untersummen, falls das Integrationsinter-
vall [a,b] eines ist, in welchem die Sinus-
funktion monoton steigend ist. Dies ist
beispielsweise der Fall, wenn man voraus-
setzt, dass
$\ [mm] -\,\frac{\pi}{2}\le a
Dies ist allerdings keine besonders gravie-
rende Einschränkung, denn man kann jedes
Integral der Form
[mm] $\integral_{c}^{d}sin(x)\,dx$
[/mm]
auf ein oder allenfalls 2 Integrale der Form
[mm] $\integral_{a_i}^{b_i}sin(x)\,dx$
[/mm]
mit [mm] -\,\frac{\pi}{2}\le a_i\le b_i\le\frac{\pi}{2} [/mm] zurückführen.
LG Al
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Hallo Lisa,
ich habe im Netz nach den einschlägigen
Formeln gesucht und wurde da fündig.
Die Formeln für [mm] $\summe_{k=1}^{n}sin(k*\alpha)$ [/mm] und [mm] $\summe_{k=1}^{n}cos(k*\alpha)$ [/mm]
stehen auf Seite 300 des Werkes, das
im April 1827 von Joseph von Radowitz,
damals Hauptmann im Königlichen Gene-
ralstaabe, veröffentlicht wurde. Radowitz,
der schon für und gegen Napoleons Armee
gedient hatte, wurde später General und
ein berühmter Staatsmann. Warum er so
"nebenbei" auch ein Werk mathematischer
Formeln herausgab, liest man am besten
in der lesenswerten Einleitung des Buches
nach !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
die summen sollen so vereinfacht werden das ich damit die formel bekomme für x habe ich dies gemacht und es ging
wobei ich die arithmetrische Folge genommen habe....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
da ich noch den Grenzwert bilden muss brauche ich natürlich die Summe sonst geht es nicht...
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Hallo,
es fehlt noch ein "Hallo" und vllt. ein "Danke Al für deine Antwort"
Mann, Mann, das sind Umgangsformen ...
LG
s.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
tut mir leid für meine umgangsformen ich meine natürlich hallo und vielen dank für ihre antwort aber ich glaube das ist selbstverständlich ...
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> Hallo,
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> es fehlt noch ein "Hallo" und vllt. ein "Danke Al für
> deine Antwort"
>
> Mann, Mann, das sind Umgangsformen ...
>
> LG
Hallo schachuzipus,
Lisa ist eine alte (sorry, mehr als ein paar
monatige) Freundin bzw. MR-Partnerin
von mir, und wenn man im zehn-Minuten-
Takt Meldungen austauscht, kann man auch
die Begrüßungen mal aufs Minimum redu-
zieren ...
Trotzdem ein Tipp für Lisa: anstatt an eine
Frage noch Mitteilungen anzuhängen, kann
man auch die gestellte Frage redigieren und
dort die Ergänzungen anbringen. Damit das
dann wirklich nochmal gelesen wird, kann
man in der Betreff-Zeile etwa "ergänzt"
oder "(neu)" hinzufügen.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Sa 18.07.2009 | | Autor: | lisa11 |
vielen dank da sie mir bekannt sind habe ich sie halt anders angesprochen aber das weiss keiner hier smile...
ich habe jetzt einen kleinen Hinweis gefunden siehe oben ich weiss nicht ob das hilft
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> vielen dank da sie mir bekannt sind habe ich sie halt
> anders angesprochen aber das weiss keiner hier smile...
... jetzt kommen dann einige noch auf falsche Gedanken ... 
Schönes Wochenende ! Al
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