Obersummen Untersummenintegral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich hätte folgende Frage zur Einführung der Integralrechnung. Und zwar unterscheidet man ja das Obersummen und das Untersummenintegral.
In einem Mathebuch ist ein Beispiel und auch die Formel gegeben, wie man beispielsweise das Obersummenintegral und das Untersummenintegral von der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] berechnet.
Um den Flächeninhalt unter der Graphen zu berechnen, zerlegt man es ja in Treppenfiguren, also in Rechtecken,Teilintervalle.
Dabei ist die Breite des Rechtecks immer gleich also hier: [mm] \Deltax= [/mm] 1/4,
denn es wird in 4 Teile unterteilt.
Mir ist der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme noch nicht klar und wie man von da aus auf den Flacheninhalt unter dem Graphen kommt.
Vielen Dank für die Hilfe im Vorraus!!
D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 28.10.2008 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du,
zunächst mal ne kleine Formsache: Die Begriffe Ober- und Untersummenintegral machen wenig Sinn. Wir beschäftigen uns hier lediglich mit der OBERSUMME oder der UNTERSUMME und nutzen diese als Einführung des INTEGRALBEGRIFFS! Okay, soweit so gut ... 
Schau dir doch parallel zu meiner Erklärung folgende Website an...
![[]](/images/popup.gif) Zur Anschauung!
Wir möchten den Flächeninhalt unter der Kurve zwischen den x-Werten 2 und 8 berechnen. Dazu gibt es nun zwei verschiedene Näherungsmöglichkeiten...
Zunächst die UNTERSUMME :
Das Intervall zwischen 2 und 8 wurde in drei Teilintervalle der Breite 2 zerlegt. Die zugehörige Rechteckhöhe ergibt sich jeweils durch Ermitteln des kleinsten Funktionswertes in diesem Intervall. Die "Höhe" dieses Funktionswertes entspricht dann der Rechteckhöhe. Hat man alle drei Rechteckshöhen ermittelt, addiert man die Flächeninhalte der drei Rechtecke und erhält die UNTERSUMME für den Flächeninhalt. Die UNTERSUMME heißt so, weil die Flächeninhalte [mm] A_{1}, A_{2} [/mm] und [mm] A_{3} [/mm] bei dieser Methode zusammen einen Wert angeben, der kleiner ist als der tatsächliche Wert.
Zunächst die OBERSUMME :
Das Intervall zwischen 2 und 8 wurde wieder in drei Teilintervalle der Breite 2 zerlegt. Die zugehörige Rechteckhöhe ergibt sich jeweils durch Ermitteln des größten Funktionswertes in diesem Intervall. Die "Höhe" dieses Funktionswertes entspricht dann der Rechteckhöhe. Hat man alle drei Rechteckshöhen ermittelt, addiert man die Flächeninhalte der drei Rechtecke und erhält die OBERSUMME für den Flächeninhalt. Die OBERSUMME heißt so, weil die Flächeninhalte [mm] A_{1}, A_{2} [/mm] und [mm] A_{3} [/mm] bei dieser Methode zusammen einen Wert angeben, der größer ist als der tatsächliche Wert.
Verfeinert man jetzt die Rechnung, d.h. man zerlegt das Intervall zwischen 2 und 8 in noch kleinere Teilintervalle, werden die Werte von Ober- und Untersumme immer besser, d.h. sie liegen immer näher am tatsächlichen Wert. Theoretisch kann man die Teilintervalle ja "unendlich klein", d.h. "unendlich schmal" machen. Im Falle dieses Grenzübergangs sind die Ober- und Untersumme dann genau gleich groß und der Flächeninhalt entspricht genau dem Integral im Intervall zwischen 2 und 8.
Diese ganze Materie ist natürlich nicht einfach und in diesem Artikel hier kann ich dir auch keine ausführliche Einführung in die Integralrechnung geben! Aber folgendes wurde hoffentlich klarer:
1) Ober- und Untersumme sind Näherungswerte für den Flächeninhalt unter einer Kurve, die kleiner bzw. größer als der tatsächliche Wert sind.
2) Macht man die Teilintervalle "unenendlich klein", dann sind Ober- und Untersumme gleich. Man spricht dann vom Integral!
Ich hoffe ich konnte etwas weiterhelfen!
Liebe Grüße
Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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Hallo,
zunächst erstmal vielen Dank für die schnelle und gute Antwort.Hat mir weiter geholfen.Allerdings frage ich mich wo rechnerisch der unterschied zwischen Ober und Untersumme liegt.Wie errechne ich denn die Höhe für die Obersumme,wenn ich den Funktionswert 2 in die Funktion eingebe,bekomme ich doch die Höhe für den ersten Teilintervall der Untersumme.
Hoffe meine Frage wurde verstanden,mich interessiert der rechnerische Unterschied zwischen Ober- und Untersumme in dem von Ihnen gegebenen Beispiel.
Vielen Dank im Vorraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:43 Mi 29.10.2008 | | Autor: | friendy88 |
Vielen Dank!!!Es hat mir das ganze sehr viel klarer gemacht!
lg
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