Objekt im 3D-Koordiantensystem < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 02.05.2005 | | Autor: | TobiK |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt----------
Nachdem das beim letzten Mal so gut geklappt hat, würde ich sehr gerne noch eine Frage zum Thema stellen.
Diesmal geht es um das Spiegeln im 3D-Koordiantensystem.
http://www.devquest.de/koordinatensystem.gif
Soweit ich mich noch an meine Schulzeit erinnern kann, gibt es hier die Punktspiegelung und die Achsenspiegelung, oder?
Leider habe ich im Netz keine Anleitung diesbezüglich finden können.
Auch Bücher zu Analytischer Geometrie (dachte das wäre das richtige Thema) haben mich nicht weiter gebracht.
Daher würde ich mich freuen, wenn mir das jemand kurz (falls das kurz überhaupt möglich ist) erklären könnte.
Bez. er Achsenspiegelung denke ich, dass die Achsen des Koordinatensystems wichtig wären, keine "imaginären" Achsen irgendwo :)
Wäre klasse wenn da jemand Lust hätte mir zu helfen :)
Grüße,
Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 02.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Tobi
> Diesmal geht es um das Spiegeln im 3D-Koordiantensystem.
> http://www.devquest.de/koordinatensystem.gif
>
> Soweit ich mich noch an meine Schulzeit erinnern kann, gibt
> es hier die Punktspiegelung und die Achsenspiegelung,
> oder?
>
> Wäre klasse wenn da jemand Lust hätte mir zu helfen :)
Mein Lustgefühle dabei sind unglaublich!!
Man kann an einer Geraden, einem Punkt, und einer Ebene spiegeln.
Die ersten 2 sind keine wirklichen Spiegelungen, sie heissen nur manchmal so.
1. An einem Punkt spiegeln: Jeder Pkt des gegenstandes wird mit dem Punkt z. Bsp. (0.0.0) verbunden, die Verbindungsstrecke wird zur anderen Seite genausolange verlängert. d. h. der Punkt (a,b,c) geht nach (-a,-b,-c)
2. An einer Geraden spiegeln. Von dem Punkt P, den man spiegeln will fällt man eine Senkrechte auf die Gerade, und verlängert sie wieder um dieselbe Strecke zur anderen Seite. Beispiel: an der y-Achse Spiegeln macht aus P= (a,b,c) P'=( -a,b,-c) (2. Koordinate =y Koordinate.
3. an einer Ebene spiegeln: wieder Senkrechte von Punkt auf die Ebene, zur anderen Seite gleichviel verlängern. Bsp: an y-z Ebene Spiegeln:P= (a,b,c) geht nach P'=(-a,b,c)
Waren das Deine Fragen ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 02.05.2005 | | Autor: | TobiK |
> Mein Lustgefühle dabei sind unglaublich!!
Na dann haben wir ja beide was davon ;)
> Man kann an einer Geraden, einem Punkt, und einer Ebene
> spiegeln.
> Die ersten 2 sind keine wirklichen Spiegelungen, sie
> heissen nur manchmal so.
> 1. An einem Punkt spiegeln: Jeder Pkt des gegenstandes
> wird mit dem Punkt z. Bsp. (0.0.0) verbunden, die
> Verbindungsstrecke wird zur anderen Seite genausolange
> verlängert. d. h. der Punkt (a,b,c) geht nach (-a,-b,-c)
Gibt es da eine Formel, oder macht man sowas rein über das Vorstellungsvermögen?
Also wenn z.B. der x-Wert =3 ist und an einem Punkt mit dem x-Wert =4 gespiegelt wird, dann hat ja der neue Punkt den x-Wert =5, weil die Strecke zwischen Punkt und Spiegelpunkt auf der x-Achse =1 ist, sprich ich muss nach dem Spiegelpunkt noch +1 rechnen, also =5.
Aber das geht ja sicherlich auch weniger umständlich, oder? *hoff*
> 2. An einer Geraden spiegeln. Von dem Punkt P, den man
> spiegeln will fällt man eine Senkrechte auf die Gerade, und
> verlängert sie wieder um dieselbe Strecke zur anderen
> Seite. Beispiel: an der y-Achse Spiegeln macht aus P=
> (a,b,c) P'=( -a,b,-c) (2. Koordinate =y Koordinate.
Nur um sicher zu gehen:
Dann wäre Spiegeln an der z-Achse:
P(a,b,c) und P'(-a,-b,c)
und Spiegeln an der x-Achse:
P(a,b,c) und P'(a,-b,-c) oder?
> 3. an einer Ebene spiegeln: wieder Senkrechte von Punkt
> auf die Ebene, zur anderen Seite gleichviel verlängern.
> Bsp: an y-z Ebene Spiegeln:P= (a,b,c) geht nach
> P'=(-a,b,c)
Nur um auch hier sicher zu gehen:
Dann wäre Spiegeln an der y-x Achse:
P(a,b,c) und P'(a,b,-c)
und Spiegeln an der z-x Achse:
P(a,b,c) und P'(a,-b,c) oder?
> Waren das Deine Fragen ?
Genau :)
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Di 03.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tobi
> > 1. An einem Punkt spiegeln: Jeder Pkt des gegenstandes
> > wird mit dem Punkt z. Bsp. (0.0.0) verbunden, die
> > Verbindungsstrecke wird zur anderen Seite genausolange
> > verlängert. d. h. der Punkt (a,b,c) geht nach (-a,-b,-c)
>
> Gibt es da eine Formel, oder macht man sowas rein über das
> Vorstellungsvermögen?
> Also wenn z.B. der x-Wert =3 ist und an einem Punkt mit
> dem x-Wert =4 gespiegelt wird, dann hat ja der neue Punkt
> den x-Wert =5, weil die Strecke zwischen Punkt und
> Spiegelpunkt auf der x-Achse =1 ist, sprich ich muss nach
> dem Spiegelpunkt noch +1 rechnen, also =5.
> Aber das geht ja sicherlich auch weniger umständlich,
> oder? *hoff*
>
Das kannst du genau so überlegen, wie das in der ersten Antwort schon angedeutet worden ist. Man bestimmt den Verbindungsvektor des Punktes zum Zentrum und verlängert diesen um die gleiche Länge über das Zentrum hinaus.
Also so: sei das Spiegelungszentrum $Z_$ und der zu spiegelnde Punkt $P_$. In Vektorschreibweise [mm] $\vec{z}$ [/mm] resp. [mm] $\vec{p}$.
[/mm]
Dann berechnet sich der Verbindungsvektor so: [mm] $\vec{z}-\vec{p}$
[/mm]
Von $P_$ aus musst du also um das doppelte dieses Vektors marschieren, also so:
[mm] $\vec{p} \, [/mm] ' = [mm] \vec{p}+2*(\vec{z}-\vec{p})=\vec{p}+2*\vec{z}-2*\vec{p}=2*\vec{z}-\vec{p}$
[/mm]
Damit hast du die Formel. Beim konkreten Rechnen musst du einfach komponentenweise rechenn.
Dein Beispiel sieht also so aus: der Punkt P(3,0,0) ist am Punkt Z(4,0,0) zu spiegeln. Nach der Fomel hat der gespiegelte Punkt diese Koordinaten:
(8-3,0,0)=(5,0,0)
Das schöne daran ist, dass du mit dieser Formel dein Z irgendwo im Raum platzieren kannst, und auch deinen zu spiegelnden Punkt. Die Formel gilt auch für eine beliebige Dimensionszahl. Also in der Ebene, im dreidimensionalen Raum oder auch im 10-dimensionalen Raum. 
> > 2. An einer Geraden spiegeln. Von dem Punkt P, den man
> > spiegeln will fällt man eine Senkrechte auf die Gerade, und
> > verlängert sie wieder um dieselbe Strecke zur anderen
> > Seite. Beispiel: an der y-Achse Spiegeln macht aus P=
> > (a,b,c) P'=( -a,b,-c) (2. Koordinate =y Koordinate.
>
> Nur um sicher zu gehen:
> Dann wäre Spiegeln an der z-Achse:
> P(a,b,c) und P'(-a,-b,c)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und Spiegeln an der x-Achse:
> P(a,b,c) und P'(a,-b,-c) oder?
>
> > 3. an einer Ebene spiegeln: wieder Senkrechte von Punkt
> > auf die Ebene, zur anderen Seite gleichviel verlängern.
> > Bsp: an y-z Ebene Spiegeln:P= (a,b,c) geht nach
> > P'=(-a,b,c)
>
> Nur um auch hier sicher zu gehen:
> Dann wäre Spiegeln an der y-x Achse:
> P(a,b,c) und P'(a,b,-c)
> und Spiegeln an der z-x Achse:
> P(a,b,c) und P'(a,-b,c) oder?
>
Hey, du hast ja alles korrekt gemacht! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 03.05.2005 | | Autor: | TobiK |
Vielen Dank für die Antwort und v.a. auch die Formel :)
Ihr beiden habt mir wirklich sehr geholfen!
Bis denn,
Tobi
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