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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Fr 12.12.2014 | | Autor: | BMO |
Guten Abend,
in unserer Analysis I Vorlesung hatten wir vor einiger Zeit das Thema abgeschlossene/offene und kompakte Mengen. Auch wenn ich das ganze Thema recht abstrakt finde, habe ich es bisher doch recht gut verstanden, nur bei praktischen Anwendung in den Übungsaufgaben hapert es noch ein wenig.
Ich habe zur Zeit eine Übungsaufgabe, bei der ich Beweisen soll, dass eine Menge offen ist.
Jedoch habe ich hier gemerkt, dass ich bisher nicht weiß, wie genau ich sowas beweísen kann.
Hier zunächst meine Definition:
Sei (X,d) ein metrischer Raum:
Eine Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X heißt offen, wenn es zu jedem Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] A ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert, sodass die Menge
[mm] B_{\varepsilon}(x_{0}) [/mm] = { x [mm] \in [/mm] X | [mm] d(x,x_{0} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] }
in A enthalten ist, d.h. [mm] B_{\varepsilon}(x_{0}) \subset [/mm] A.
Soweit so gut. Eine Menge A ist also offen, wenn man um jedes Element der Menge eine Epsilon-Kugel legen kann, sodass dann jedes Element innerhalb der Kugel immernoch in der Menge A liegt.
Bevor ich jedoch meine Aufgabe angehen kann, will ich für mich erstmal ein leichtes Beispiel klären.
Zjm Beispiel kann ich das Intervall (0,1) im metrischen Raum [mm] (\IR,d) [/mm] mit der Betragsmetrik.
Dann ist dieses Intervall ja offen, weil ich
(0,1) auch als I = { x [mm] \in \IR [/mm] | 0 < x < 1}
und ich ja dann um jede Zahl eine solche Epsilon-Kugel legen kann, sodass ich die Grenze 1 nie erreiche.
Ich kann ja für jedes x [mm] \in [/mm] I eine Kugel mit dem Radius r = [mm] (\bruch{x+1}{2} [/mm] - x) legen, sodass ich dann immer näher an 1 komme, dieses jedoch nie erreiche.
Aber wie genau beweise ich das nun, weil nur zu sagen, dass es eine solche Kugel gibt, ist ja noch kein Beweis?
Wäre super, wenn mir da einer bei helfen könnte.
Liebe Grüße
BMO
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Sa 13.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wähle zu [mm] $x_0 \in [/mm] I$: [mm] $\epsilon=\min\{\frac{x_0}{2},\frac{1-x_0}{2}\}$.
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] $y\in B_\epsilon(x_0)$: $y-\epsilon>0$ [/mm] und [mm] $y+\epsilon<1$, [/mm] also $y [mm] \in [/mm] I$.
Liebe Grüße
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