Offene Überdeckung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Aufgabe
Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgenden o offenen Überdeckungen jeweils eine endliche Teilüberdeckung
enthalten. |
1.) $ ]0,1[^2 [mm] \subset \bigcup \{U_1(a+n)| n \in Z^2 \} [/mm] $, wobei $ a = [mm] (0,\frac{1}{2}) [/mm] $
2.)$ ]0,1[^2 [mm] \subset \bigcup \{U_\frac{1}{2}((t,a))| t \in R \} [/mm] $, wobei $ a = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
3. $ ]0,1[^2 [mm] \subset \bigcup \{U_r(q)|r\in Q^+, q \in Q^2 \cap ]0,1[^2\, \} [/mm] $
4. $ [mm] [0,1]^2 \subset \bigcup \{U_r(q)|r\in Q^+, q \in Q^2 \cap ]0,1[^2\, \} [/mm] $
Zu 1.
ja sie enthält eine endliche Teilüberdeckung,denn
$ ]0,1[^2 [mm] \subset U_1(0,-\frac{1}{2}) \cup U_1(0,\frac{1}{2}) U_1(1,-\frac{1}{2}) \cup U_1(-1,-\frac{1}{2}) [/mm] $
Zu 2.
nein sie enthält keine endliche Teilüberdeckung,denn
$ ]0,1[^2 [mm] \nsubseteq \bigcup_{t\in I \subset R,\,a=\frac{1}{2}} \frac{1}{2}(t,a)\cap [/mm] ]0,1[^2 $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 30.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aufgabe
> Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgenden
> o offenen Überdeckungen jeweils eine endliche
> Teilüberdeckung
> enthalten.
> 1.) [mm]]0,1[^2 \subset \bigcup \{U_1(a+n)| n \in Z^2 \} [/mm],
> wobei [mm]a = (0,\frac{1}{2})[/mm]
>
> 2.)[mm] ]0,1[^2 \subset \bigcup \{U_\frac{1}{2}((t,a))| t \in R \} [/mm],
> wobei [mm]a = \frac{1}{2}[/mm]
>
>
> 3. [mm]]0,1[^2 \subset \bigcup \{U_r(q)|r\in Q^+, q \in Q^2 \cap ]0,1[^2\, \}[/mm]
>
>
>
> 4. [mm][0,1]^2 \subset \bigcup \{U_r(q)|r\in Q^+, q \in Q^2 \cap ]0,1[^2\, \}[/mm]
>
> Zu 1.
> ja sie enthält eine endliche Teilüberdeckung,denn
>
> [mm]]0,1[^2 \subset U_1(0,-\frac{1}{2}) \cup U_1(0,\frac{1}{2}) U_1(1,-\frac{1}{2}) \cup U_1(-1,-\frac{1}{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu 2.
> nein sie enthält keine endliche Teilüberdeckung,
> denn
>
> [mm]]0,1[^2 \nsubseteq \bigcup_{t\in I \subset R,\,a=\frac{1}{2}} \frac{1}{2}(t,a)\cap ]0,1[^2[/mm]
Das verstehe ich nicht. Rechts steht wieder eine unendliche Überdeckung.
Überlege dir folgendes: die einzelnen [mm] $\{U_\frac{1}{2}((t,\bruch{1}{2}))\mid t \in R \} [/mm] $ sind offene Kreisflächen vom Radius $1/2$, deren Mittelpunkt den Abstand $1/2$ von der x-Achse hat.
Wenn du endlich viele dieser Kreisflächen nimmst, warum gibt es dann immer noch Punkte aus $]0,1[^2$, die in keiner dieser offenen Kreisflächen liegen?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke für die Antwort
Also rechts steht eine endliche Teilüberdeckung, da $t [mm] \in [/mm] I [mm] \subset [/mm] R$
Ich geh davon aus, wenn [mm] $I\subset [/mm] R$ dann ist I endlich,oder nicht?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Do 31.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort
>
> Also rechts steht eine endliche Teilüberdeckung, da [mm]t \in I \subset R[/mm]
>
> Ich geh davon aus, wenn [mm]I\subset R[/mm] dann ist I endlich,oder
> nicht?
Meinst du mit [mm] $\subset [/mm] R$ ein Intervall der reellen Zahlen als Indexmenge? Eine Intervall hat unendlich viele Punkte, daher besteht deine Überdeckung aus unendlich vielen Teilmengen.
Endlich heißt, dass du eine endliche Indexmenge I= [mm] $\{t_1,\dots,t_m\}$ [/mm] (also mit m Elementen) angeben kannst, sodass deine Überdeckung die Form
[mm] \bigcup_{i=1}^m U_{\bruch{1}{2}} (t_i,\bruch{1}{2}) [/mm]
hat.
Viele Grüße
Rainer
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