Offener Quader, f konstant < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 27.05.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] ein offener Quader (also das n-fache kartesische Produkt von offenen Intervallen) und sei f : U [mm] \to \IR [/mm] eine partiell differenzierbare Funktion mit gradf(x) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] U. Zeigen Sie, dass f konstant ist. |
Ich hab schon Probleme mir diesen offenen Quader vorzustellen und weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Also grad f(x) ist der Gradient der Funktion und das bedeutet die Ableitung "nach allen Richtungen". Weiter weiß ich aus der eindimensionalen Analysis, das gilt f'(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist konstant.
Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
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> Sei U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein offener Quader (also das n-fache
> kartesische Produkt von offenen Intervallen) und sei f : U
> [mm]\to \IR[/mm] eine partiell differenzierbare Funktion mit
> gradf(x) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] U. Zeigen Sie, dass f konstant
> ist.
> Ich hab schon Probleme mir diesen offenen Quader
> vorzustellen und weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Also
> grad f(x) ist der Gradient der Funktion und das bedeutet
> die Ableitung "nach allen Richtungen". Weiter weiß ich aus
> der eindimensionalen Analysis, das gilt f'(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(x) ist konstant.
> Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
Hallo Calculu
für eine einigermaßen anschauliche Vorstellung genügt
es wohl schon, dass man sich die einfachen konkreten
Fälle mit n=1, n=2 und n=3 vorstellen kann. Alles Wesentliche
überträgt sich ganz einfach auf die Fälle mit höheren
Dimensionen.
Um die Konstanz zu zeigen, würde ich z.B. zwei konkrete
Punkte $\ [mm] P_1(x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, [/mm] ... , [mm] x_{1,n})$
[/mm]
und $\ [mm] P_2(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, [/mm] ... , [mm] x_{2,n})$
[/mm]
und ihre Funktionswerte [mm] f(P_1) [/mm] und [mm] f(P_2) [/mm] betrachten.
Um deren Gleichheit nachzuweisen, würde ich einen Weg
von [mm] P_1 [/mm] nach [mm] P_2 [/mm] betrachten, welcher einem Polynomzug
aus n Teilstrecken besteht, von welchen je einer parallel
zu jeder der n Koordinatenachsen verläuft.
Für den Beweis braucht man natürlich auch die (Eindeutigkeit
und) Stetigkeit von f, was aber unter der Voraussetzung der
partiellen Differenzierbarkeit von f auf U selbstverständ-
lich ist.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Sei U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein offener Quader (also das n-fache
> > kartesische Produkt von offenen Intervallen) und sei f : U
> > [mm]\to \IR[/mm] eine partiell differenzierbare Funktion mit
> > gradf(x) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] U. Zeigen Sie, dass f konstant
> > ist.
> > Ich hab schon Probleme mir diesen offenen Quader
> > vorzustellen und weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Also
> > grad f(x) ist der Gradient der Funktion und das bedeutet
> > die Ableitung "nach allen Richtungen". Weiter weiß ich aus
> > der eindimensionalen Analysis, das gilt f'(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> > f(x) ist konstant.
> > Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
>
>
> Hallo Calculu
>
> für eine einigermaßen anschauliche Vorstellung genügt
> es wohl schon, dass man sich die einfachen konkreten
> Fälle mit n=1, n=2 und n=3 vorstellen kann. Alles
> Wesentliche
> überträgt sich ganz einfach auf die Fälle mit höheren
> Dimensionen.
> Um die Konstanz zu zeigen, würde ich z.B. zwei konkrete
> Punkte [mm]\ P_1(x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, ... , x_{1,n})[/mm]
>
> und [mm]\ P_2(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, ... , x_{2,n})[/mm]
> und
> ihre Funktionswerte [mm]f(P_1)[/mm] und [mm]f(P_2)[/mm] betrachten.
> Um deren Gleichheit nachzuweisen, würde ich einen Weg
> von [mm]P_1[/mm] nach [mm]P_2[/mm] betrachten, welcher einem Polynomzug
> aus n Teilstrecken besteht, von welchen je einer parallel
> zu jeder der n Koordinatenachsen verläuft.
> Für den Beweis braucht man natürlich auch die
> (Eindeutigkeit
> und)
Hallo Al,
> Stetigkeit von f, was aber unter der Voraussetzung
> der
> partiellen Differenzierbarkeit von f auf U
> selbstverständ-
> lich ist.
Hier irrst Du: betrachte die Funktion
[mm] f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0):=0.
f ist auf [mm] \IR^2 [/mm] partiell differenzierbar, aber f ist in (0,0) nicht stetig.
FRED
>
> LG , Al-Chwarizmi
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> > > Sei U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein offener Quader (also das n-fache
> > > kartesische Produkt von offenen Intervallen) und sei f : U
> > > [mm]\to \IR[/mm] eine partiell differenzierbare Funktion mit
> > > gradf(x) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] U. Zeigen Sie, dass f konstant
> > > ist.
> > > Ich hab schon Probleme mir diesen offenen Quader
> > > vorzustellen und weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Also
> > > grad f(x) ist der Gradient der Funktion und das bedeutet
> > > die Ableitung "nach allen Richtungen". Weiter weiß ich aus
> > > der eindimensionalen Analysis, das gilt f'(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > f(x) ist konstant.
> > > Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
> >
> >
> > Hallo Calculu
> >
> > für eine einigermaßen anschauliche Vorstellung genügt
> > es wohl schon, dass man sich die einfachen konkreten
> > Fälle mit n=1, n=2 und n=3 vorstellen kann. Alles
> > Wesentliche
> > überträgt sich ganz einfach auf die Fälle mit
> höheren
> > Dimensionen.
> > Um die Konstanz zu zeigen, würde ich z.B. zwei
> konkrete
> > Punkte [mm]\ P_1(x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, ... , x_{1,n})[/mm]
>
> >
> > und [mm]\ P_2(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, ... , x_{2,n})[/mm]
> >
> und
> > ihre Funktionswerte [mm]f(P_1)[/mm] und [mm]f(P_2)[/mm] betrachten.
> > Um deren Gleichheit nachzuweisen, würde ich einen Weg
> > von [mm]P_1[/mm] nach [mm]P_2[/mm] betrachten, welcher einem Polynomzug
> > aus n Teilstrecken besteht, von welchen je einer
> parallel
> > zu jeder der n Koordinatenachsen verläuft.
> > Für den Beweis braucht man natürlich auch die
> > (Eindeutigkeit
> > und)
>
>
> Hallo Al,
>
>
> > Stetigkeit von f, was aber unter der Voraussetzung
> > der partiellen Differenzierbarkeit von f auf U
> > selbstverständlich ist.
>
>
> Hier irrst Du: betrachte die Funktion
>
> [mm]f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und
> f(0,0):=0.
>
> f ist auf [mm]\IR^2[/mm] partiell differenzierbar, aber f ist in
> (0,0) nicht stetig.
>
> FRED
Oha, da habe ich mich geirrt. Trotzdem scheint mein Tipp
mit dem Streckenzug aus Teilstrecken parallel zu den
Achsen grundsätzlich korrekt zu sein, oder ?
Gruß , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mi 28.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > Sei U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein offener Quader (also das n-fache
> > > > kartesische Produkt von offenen Intervallen) und sei f : U
> > > > [mm]\to \IR[/mm] eine partiell differenzierbare Funktion mit
> > > > gradf(x) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] U. Zeigen Sie, dass f konstant
> > > > ist.
> > > > Ich hab schon Probleme mir diesen offenen Quader
> > > > vorzustellen und weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Also
> > > > grad f(x) ist der Gradient der Funktion und das bedeutet
> > > > die Ableitung "nach allen Richtungen". Weiter weiß ich aus
> > > > der eindimensionalen Analysis, das gilt f'(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > f(x) ist konstant.
> > > > Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
> > >
> > >
> > > Hallo Calculu
> > >
> > > für eine einigermaßen anschauliche Vorstellung genügt
> > > es wohl schon, dass man sich die einfachen
> konkreten
> > > Fälle mit n=1, n=2 und n=3 vorstellen kann. Alles
> > > Wesentliche
> > > überträgt sich ganz einfach auf die Fälle mit
> > höheren
> > > Dimensionen.
> > > Um die Konstanz zu zeigen, würde ich z.B. zwei
> > konkrete
> > > Punkte [mm]\ P_1(x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, ... , x_{1,n})[/mm]
>
> >
> > >
> > > und [mm]\ P_2(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, ... , x_{2,n})[/mm]
>
> > >
> > und
> > > ihre Funktionswerte [mm]f(P_1)[/mm] und [mm]f(P_2)[/mm] betrachten.
> > > Um deren Gleichheit nachzuweisen, würde ich einen
> Weg
> > > von [mm]P_1[/mm] nach [mm]P_2[/mm] betrachten, welcher einem
> Polynomzug
> > > aus n Teilstrecken besteht, von welchen je einer
> > parallel
> > > zu jeder der n Koordinatenachsen verläuft.
> > > Für den Beweis braucht man natürlich auch die
> > > (Eindeutigkeit
> > > und)
> >
> >
> > Hallo Al,
> >
> >
> > > Stetigkeit von f, was aber unter der Voraussetzung
> > > der partiellen Differenzierbarkeit von f auf U
> > > selbstverständlich ist.
> >
> >
> > Hier irrst Du: betrachte die Funktion
> >
> > [mm]f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und
> > f(0,0):=0.
> >
> > f ist auf [mm]\IR^2[/mm] partiell differenzierbar, aber f ist in
> > (0,0) nicht stetig.
> >
> > FRED
>
>
> Oha, da habe ich mich geirrt. Trotzdem scheint mein Tipp
> mit dem Streckenzug aus Teilstrecken parallel zu den
> Achsen grundsätzlich korrekt zu sein, oder ?
Hallo Al,
Ja, das ist die richtige Idee. Im Falle n=2 habe ich hier
https://matheraum.de/read?i=1023338
eine Anleitung gegeben.
Gruß FRED
>
> Gruß , Al
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 27.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank für deine Antwort.
Wieso muss es sich denn überhaupt um eine offene Menge handeln? Ist das wichtig für den Beweis?
Irgendwie muss ich ja ausnutzen, dass grad f(x)=0 ist, leider weiß ich nicht, wie ich das in den von dir vorgeschlagenen Ansatz einfließen lassen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mi 28.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Wieso muss es sich denn überhaupt um eine offene Menge
> handeln?
Der Begriff der partiellen Differenzierbarkeit wird meist nur für Funktionen definiert, die auf offenen Teilmengen des [mm] \IR^n [/mm] definiert sind.
> Ist das wichtig für den Beweis?
> Irgendwie muss ich ja ausnutzen, dass grad f(x)=0 ist,
> leider weiß ich nicht, wie ich das in den von dir
> vorgeschlagenen Ansatz einfließen lassen soll.
Machen wir das ganze mal im [mm] \IR^2 [/mm] (die Verallgemeinerung ist dann naheliegend).
Sei also U [mm] \subset \IR^2. [/mm] Es ist also U=I [mm] \times [/mm] J mit offenen Intervallen I und J in [mm] \IR.
[/mm]
Male ein Bild !
Nun nehmen wir uns 2 verschiedene Punkte [mm] (x_0,y_0), (u_0,v_0) \in [/mm] U her.
Dann können wir von [mm] x_0
Nun nehmen wir noch einen 3. Punkt hinzu: [mm] (u_0,y_0). [/mm] Male auch diesen.
Dann gilt:
[mm] f(x_0,y_0)-f(u_0,v_0)= f(x_0,y_0)-f(u_0,y_0)+f(u_0,y_0)-f(u_0,v_0)
[/mm]
Nun betrachten wir die Differenz
(*) [mm] f(x_0,y_0)-f(u_0,y_0).
[/mm]
Für t [mm] \in [/mm] I setzen wir [mm] g(t):=f(t,y_0). [/mm] Da f auf U partiell differenzierbar ist, ist g auf I differenzierbar.
Es ist [mm] f(x_0,y_0)-f(u_0,y_0)=g(x_0)-g(u_0).
[/mm]
Nach dem eindimensionalen Mittelwersatz gibt es ein s zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] u_0 [/mm] mit
[mm] g(x_0)-g(u_0)=g'(s)(x_0-u_0).
[/mm]
Nun ist aber [mm] g'(s)=f_x(s,y_0), [/mm] somit haben wir:
[mm] f(x_0,y_0)-f(u_0,y_0)=f_x(s,y_0)(x_0-u_0).
[/mm]
Da [mm] gradf(s,y_0)=0 [/mm] ist, ist auch [mm] f_x(s,y_0)=0.
[/mm]
Fazit: [mm] f(x_0,y_0)-f(u_0,y_0)=0.
[/mm]
Genauso zeigt man: [mm] f(u_0,y_0)-f(u_0,v_0)=0, [/mm] wobei Du die partielle Ableitung [mm] f_y [/mm] ins Spiel bringen musst.
Wir haben also:
[mm] f(x_0,y_0)-f(u_0,v_0)= f(x_0,y_0)-f(u_0,y_0)+f(u_0,y_0)-f(u_0,v_0)=0
[/mm]
und damit
[mm] f(x_0,y_0)=f(u_0,v_0)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Do 29.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Wow, vielen Dank für diese tolle und sehr ausführliche Erklärung!!!
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