Op. mit endlichem Bild < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Samyy |
| Aufgabe | Seien $X,Y$ zwei Banachräume und sei [mm] $T:X\rightarrow [/mm] Y$ ein linearer Operator mit endlichem Bild. Zeigen Sie, dass es [mm] $N\in\mathbb{N}, x_n'\in [/mm] X', [mm] y_n\in [/mm] Y$ gibt mit n=1,...,N gibt, s.d.:
[mm] $T(x)=\sum\limits_{n=1}^N x_n'(x) y_n$, [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$. |
Hallo,
sei eine Basis für das Bild von T gegeben durch die Vektoren [mm] $\lbrace y_1,...,y_N \rbrace$. [/mm] Dann gibt es sicherlich [mm] $e_1,...,e_N$ [/mm] mit [mm] $T(e_n)=y_n$ [/mm] für alle $n=1,...,N$ und diese [mm] $e_i$ [/mm] sind notwendigerweise auch linear unabhängig.
Nun sind die [mm] $y_n$, [/mm] welche eine Basis des Bildes sein soll, bestimmt die in der Aufgabenstellung geforderten [mm] $y_n$. [/mm] Nur wie muss ich denn die stetigen linearen Abbildungen [mm] $x_n [/mm] '$ wählen? Muss man die linear unabhängigen Vektoren [mm] $e_n$ [/mm] zu einer Hamelbasis von $X$ fortsetzen und dann [mm] $x_n'$ [/mm] als die Projektion auf die jeweiligen Koordinaten zu [mm] $e_n$ [/mm] wählen? Wäre das eine mögliche Lösung? Gibt es eine elegantere Möglichkeit?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Sa 25.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]X,Y[/mm] zwei Banachräume und sei [mm]T:X\rightarrow Y[/mm] ein
> linearer Operator mit endlichem Bild.
Du meinst sicher : mit endlichdimensionalem Bild
> Zeigen Sie, dass es
> [mm]N\in\mathbb{N}, x_n'\in X', y_n\in Y[/mm] gibt mit n=1,...,N
> gibt, s.d.:
>
> [mm]T(x)=\sum\limits_{n=1}^N x_n'(x) y_n[/mm], für alle [mm]x\in X[/mm].
Wenn mit X' der topologische Dual von X gemeint ist, so sind die [mm] x_j' [/mm] stetig.
Dann ist die Aussage nur dann richtig, wenn T auch noch als stetig vorausgesetzt wird.
>
> Hallo,
>
> sei eine Basis für das Bild von T gegeben durch die
> Vektoren [mm]\lbrace y_1,...,y_N \rbrace[/mm]. Dann gibt es
> sicherlich [mm]e_1,...,e_N[/mm] mit [mm]T(e_n)=y_n[/mm] für alle [mm]n=1,...,N[/mm]
> und diese [mm]e_i[/mm] sind notwendigerweise auch linear
> unabhängig.
>
> Nun sind die [mm]y_n[/mm], welche eine Basis des Bildes sein soll,
> bestimmt die in der Aufgabenstellung geforderten [mm]y_n[/mm]. Nur
> wie muss ich denn die stetigen linearen Abbildungen [mm]x_n '[/mm]
> wählen? Muss man die linear unabhängigen Vektoren [mm]e_n[/mm] zu
> einer Hamelbasis von [mm]X[/mm] fortsetzen und dann [mm]x_n'[/mm] als die
> Projektion auf die jeweiligen Koordinaten zu [mm]e_n[/mm] wählen?
> Wäre das eine mögliche Lösung? Gibt es eine elegantere
> Möglichkeit?
Tipp: Hahn-Banach
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
vielen Dank! Ja du hast recht mit deinen Korrekturen. Entschuldige die Missverstaendnisse. Ein Problem habe ich da aber noch. Ich habe nun folgenden Ansatz:
Sei [mm] $Tx=\sum_{i=1}^N \lambda_n(x) y_i$, [/mm] wobei [mm] $y_1,...,y_N$ [/mm] eine Basis von Im(T) ist und [mm] $\lambda_n:X\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] funktionen.
Nun habe ich definiert [mm] $x_n'(x):=\lambda_n(x)$.
[/mm]
Diese Funktionen sind sicher linear, das folgt aus der Linearitaet von T. Aber warum sind die Funktionen auch stetig?
Angenommen es gibt ein n, s.d. die Menge [mm] $\lbrace \vert \lambda_n(x)\vert [/mm] : [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert=1 \rbrace$ [/mm] unbeschraenkt ist. Wie kann ich daraus folgern, dass auch T unbeschraenkt sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 27.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen Dank! Ja du hast recht mit deinen Korrekturen.
> Entschuldige die Missverstaendnisse. Ein Problem habe ich
> da aber noch. Ich habe nun folgenden Ansatz:
>
> Sei [mm]Tx=\sum_{i=1}^N \lambda_n(x) y_i[/mm], wobei [mm]y_1,...,y_N[/mm]
> eine Basis von Im(T) ist und [mm]\lambda_n:X\rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> funktionen.
Hä ? Irgendwelche Funktionen ???? Di sollst doch zeigen, dass es soche Funktionen gibt, und zwar stetig und linear !
> Nun habe ich definiert [mm]x_n'(x):=\lambda_n(x)[/mm].
>
> Diese Funktionen sind sicher linear, das folgt aus der
> Linearitaet von T. Aber warum sind die Funktionen auch
> stetig?
>
> Angenommen es gibt ein n, s.d. die Menge [mm]\lbrace \vert \lambda_n(x)\vert : \Vert x \Vert=1 \rbrace[/mm]
> unbeschraenkt ist. Wie kann ich daraus folgern, dass auch T
> unbeschraenkt sein muss?
Ich hab Dir doch einen Tipp gegeben: Hahn-Banach !
FRED
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