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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Es sei M eine Menge mit n Elementen. Man berechne die Anzahl
a) aller Operationen
b) der kommutativen Operationen und
c) der kommutativen Operationen mit neutralem Element auf M. |
Hallo,
ich komme leider mit dieser Aufgabenstellung nicht weiter.
Was ist mit Operationen auf M gemeint und was muss ich eigentlich zeigen?
Hat es etwas mit Permutationen zu tun oder doch eher mit Gruppen?
Ist mit kommutativen Operationen gemeint, dass ich z.B. zeigen soll, dass x*y=y*x in der Menge gilt?
Ich steh im Moment leider auf dem Schlauch :(
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei M eine Menge mit n Elementen. Man berechne die
> Anzahl
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> a) aller Operationen
> b) der kommutativen Operationen und
> c) der kommutativen Operationen mit neutralem Element auf M.
> Was ist mit Operationen auf M gemeint und was muss ich
> eigentlich zeigen?
> Hat es etwas mit Permutationen zu tun oder doch eher mit
> Gruppen?
> Ist mit kommutativen Operationen gemeint, dass ich z.B.
> zeigen soll, dass x*y=y*x in der Menge gilt?
Hallo Mija,
ich denke, da sollte die Aufgabenstellung mehr hergeben als
das, was tatsächlich da steht. Wenn man sich irgendwelche
Phantasieoperationen (auch z.B. mit beliebig vielen
Operanden) ausmalen darf, würde ich mal über den Daumen
gepeilt sagen: es gibt unendlich viele Operationen ...
Die Angabe, was mit Operationen auf M überhaupt gemeint
ist, müsste Teil der Aufgabenstellung sein.
In welchem Zusammenhang ist denn diese Aufgabe aufgetreten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Mija |
Die Aufgabe ist Bestandteil einer Hausaufgabe, die nach den Vorlesungen mit den Themen Permutationen, Gruppen, Morphismen und Relationen kam.
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> Es sei M eine Menge mit n Elementen. Man berechne die
> Anzahl
>
> a) aller Operationen
> b) der kommutativen Operationen und
> c) der kommutativen Operationen mit neutralem Element auf M.
> Was ist mit Operationen auf M gemeint und was muss ich
> eigentlich zeigen?
> Hat es etwas mit Permutationen zu tun oder doch eher mit
> Gruppen?
> Ist mit kommutativen Operationen gemeint, dass ich z.B.
> zeigen soll, dass x*y=y*x in der Menge gilt?
Ich versuche mal eine mögliche Interpretation:
Die besagten "Operationen" seien alle möglichen
zweistelligen Abbildungen f: M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M
a) wenn keine speziellen Bedingungen erfüllt werden
sollen, sind alle solchen Abbildungen zugelassen.
Der Definitionsbereich M [mm] \times [/mm] M hat [mm]n*n=n^2[/mm]
Elemente. Jedem seiner Elemente kann ein
beliebiges Element von M als Bildelement zugeordnet
werden. Die Anzahl der Abbildungen ist:
[mm] n^{(n^2)}
[/mm]
b) Soll eine solche Operation kommutativ sein, d.h.
f(x,y)=f(y,x) für alle [mm] (x,y)\in M^2, [/mm] dürfen nur noch
etwa die Hälfte der Funktionswerte frei gewählt
werden. Genauer: Stellt man die Abbildung in Matrix-
form dar, so dürfen für die Elemente oberhalb oder in
der Diagonalen die Bildelemente frei gewählt werden.
Für die Elemente unterhalb der Diagonalen sind die
Bildelemente durch die Kommutativitätsbedingung
bestimmt. Die Anzahl der kommutativen Operationen
ist also:
[mm] n^{\bruch{n^2+n}{2}}
[/mm]
c) Kommutative Operationen mit neutralem Element.
Man sollte sich zuerst klar machen, dass es
nur ein einziges Neutralelement geben kann.
Im Prinzip könnte aber jedes der n Elemente die Rolle
des Neutralelements übernehmen.
Falls es das erste Element [mm] e_1\in [/mm] M ist, diktiert
es die Werte der Funktion f in der obersten Zeile
der Matrix. Durch die Kommutativität sind ferner
die Funktionswerte unterhalb der Diagonalen
nicht frei wählbar. Die Anzahl der frei wählbaren
Elemente ist 1+2+3+ ... + (n-1) = [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}
[/mm]
Für die gesamte Anzahl der kommutativen Operationen
mit Neutralelement ergibt sich also:
[mm] \big{n*n^{\bruch{n^2-n}{2}}=n^{\bruch{n^2-n+2}{2}}}
[/mm]
Gruß Al-Chwarizmi
(bitte um Rückmeldung, ob die Aufgabe wirklich
so gemeint war ...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 So 02.11.2008 | | Autor: | Mija |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort!! :)
Ich melde mich noch einmal, wenn wir alles zurückbekommen haben und ich weiß, ob die Aufgabe so gemeint war wie vermutet wurde - Aber ich bin da optimistisch! ;)
Liebe Grüße
und noch ein schönes Wochenende!
Mija
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