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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So ich hoffe, ich hab mir jetzt das richtige Forum ausgesucht... Wusste nicht genau, wo ich meine Frage hinposten sollte ...
Ich hab hier zwei Aufgaben, bei denen ich nicht mal den blassesten Schimmer hab und hoffe, ihr koennt mir da irgendwie behilflich sein. Ich zaehl auf euch und bedank mich schonmal im Vorraus.
Die Aufgaben sind:
1.) Bestimme
max { [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] : x = ( [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] ) [mm] \in \IR^{2} [/mm] _{+} , (<- das + gehoert noch in den index , aber das funktioniert irgendwie nich -.- )
[mm] x_{1} [/mm] + 3 [mm] x_{2} \ge [/mm] 3 , [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} \le [/mm] 5 , [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} \le [/mm] 6 }
sowie alle optimalen Loesungen.
2.) Bestimme eine Matrix A und einen Vektor c, so dass
T = { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] : Ax [mm] \le [/mm] b }
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 19.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Micha
ich würde einmal empfehlen, zum besseren Verständnis, die Aufgabe graphisch darzustellen, in einem Koordinatensystem.
> 1.) Bestimme
>
> max [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] : x = ( [mm]x_{1}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] ) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> _{+} , (<- das + gehoert noch in den index , aber das
> funktioniert irgendwie nich -.- )
> [mm]x_{1}[/mm] + 3 [mm]x_{2} \ge[/mm] 3 , [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2} \le[/mm] 5 ,
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2} \le[/mm] 6
>
> sowie alle optimalen Loesungen.
>
ich habe [mm] $x_{1}$ [/mm] durch $x$ ersetzt, und [mm] $x_{2}$ [/mm] durch $y$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Funktion, die zu optimieren ist, heisst $x+y$.
Das führt zu den Geradengleichungen $x+y=c$ mit der Frage, wo das $c$ maximal wird.
Ich habe im Bild ein paar Beispiele gezeichnet, für die Werte $c=2$, $c=3$, $c=4$ und $c=5$ (rot). Du erkennst daran, dass sich mit steigendem Wert die Gerade parallel nach oben schiebt. Die Frage ist nur, wie weit kannst du schieben, dass sie mit der blauen Fläche noch gemeinsame Punkte enthält.
Die blaue Fläche ist so entstanden:
Die Zusatzbedingungen resultierten in den Geradengleichungen
$y [mm] \ge 1-\bruch{x}{3}$
[/mm]
$y [mm] \ge [/mm] x-5$
$y [mm] \ge [/mm] 6-x$
sowie der Einschränkung [mm] $\IR_{+}^{2}$, [/mm] das heisst, eingeschränkt auf den 1. Quadranten.
Den Rand dieser Bedingungen habe ich durch blaue Geraden dargestellt, in innerhalb der blauen Fläche inklusive Rand sind alle Bedingungen erfüllt.
Ich hoffe, so wurde einiges klarer. 
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 19.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
die Aufgabe lautet ja folgendermaßen:
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = max$
unter den Nebenbedingungen:
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 \ge [/mm] 3$
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_2 \le [/mm] 5$
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 \le [/mm] 6$.
Gesucht sind also [mm] $x_1$, $x_2$, [/mm] die alle Nebenbedingungen erfüllen und die Zielfunktion [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2$ [/mm] maximieren.
Die Nebenbedingungen können graphisch durch Geraden dargestellt werden, die dann einen sogenannten zulässigen Bereich beschreiben. Dieser Bereich hat die Form eines Polyeders.
Die Zielfunktion [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2$ [/mm] wird durch Geraden beschrieben, die alle $= const$ sind und daher durch Parallelverschiebung auf den zulässigen Bereich verschoben werden können.
Man verschiebt diese Geradenschar solange, bis sie mit einer Ecke oder sogar einer ganzen Geraden auf der Berandung des zulässigen Bereichs liegt.
Gibt man dem Kind einen Namen, so nennt man es "Simplexverfahren".
Das Verfahren vermutet die Lösung der Maximierungsaufgabe in einer Ecke des zulässigen Bereichs. Man nimmt sich also eine Ecke als Startecke und läuft entlang der Kanten, bis man den maximalen Zielfunktionswert erreicht hat. Oder man merkt eben, daß man an einer falschen Kante entlang läuft, die den Zielfunktionswert unendlich hat.
Ist dieses die richtige Lösungsrichtung, so kann ich das gerne mal am Verfahren erklären, aber da warte ich lieber noch auf einen Kommentar.
Viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 21.10.2004 | | Autor: | Cristabell |
Hi ihr zwei :) Danke fuer eure schnellen Antworten. Habt mir echt geholfen, so dass ich die Aufgabe mittlerweile sogar verstanden hab ;) Die andere konnte ich damit dann auch loesen ... Also gaaaaaaanz fettes Danke nochmal :))
Bis dann Crista
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