Operator als Fkt eines anderen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:05 Fr 18.05.2007 | | Autor: | alllala |
| Aufgabe | | Seien A und B zwei hermitesche Operatoren. Zeigen sie: Wenn A ein nicht-entartetes Spektrum besitzt und B mit A kommutiert, dann lässt sich B als Funktion von A darstellen, d.h. B=f(A) |
Wenn [A,B]=0 --> AB=BA, so weit so gut, aber ich weiß hier jetzt nicht wie man den Hinweis mit dem nicht-entarteten Spektrum einbauen soll, und noch viel weniger ist mir klar was am Ende überhaupt darstehen soll.
Hatte an so wie B=f(A)= [mm] \summe_{i=0}^{\infty} c_{i} (A)^{i} [/mm] gedacht, also die mögliche Reihendarstellung der Funktion, wobei mich hier aber die Potenzen stören.
Ausdrücken sollte man das ganze in der Dirac-Notation
[mm] AB|x_{n]}> [/mm] = [mm] A(b_{n}|x_{n}>)=BA |x_{n}>=B(a_{n} |x_{n}>)
[/mm]
(Also, dass |x> die Eigenvektoren zu A und B sind usw....)
Keine Ahnung wie ich das jetzt verknüpfen könnte...
Danke schomal für eure Hilfe im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Sa 19.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien A und B zwei hermitesche Operatoren.
Auf einem endlichdimensionalen [mm] $\C$-Vektorraum [/mm] $V$ mit Skalarprodukt? Da du das hier im LinAlg-Forum fragst und nicht im Funktionalanalysis-Forum nehm ich das mal an...
> Zeigen sie: Wenn
> A ein nicht-entartetes Spektrum besitzt
Was genau bedeutet das? Dass $A$ genau $n$ verschiedene Eigenwerte besitzt, wenn [mm] $\dim [/mm] V = n$ ist? Ich nehm das einfach mal an...
> und B mit A kommutiert, dann lässt sich B als Funktion von A
> darstellen, d.h. B=f(A)
Mit Funktion ist Polynom gemeint? Oder analytische Funktion? Oder stetige Funktion? Oder _irgendeine_ Funktion? Und wie ist $f(A)$ dann zu interpretieren?
Also hermitesche Operatoren sind diagonalisierbar, und zwei diagonalisierbare Matrizen die kommutieren sind simultan diagonalisierbar. Es gibt also eine Orthonormalbasis von $V$, bezueglich der sowohl $A$ als auch $B$ in Diagonalform sind.
Seien die Eigenwerte von $A$ [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ [/mm] und die Eigenwerte von $B$ [mm] $\mu_1, \dots, \mu_n$ [/mm] (in der Reihenfolge wie sie in der Diagonalform bzgl. diese Basis auftreten). Wenn du ein Polynom $f$ mit [mm] $f(\lambda_i) [/mm] = [mm] \mu_i$ [/mm] hast, $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ (das geht weil die [mm] $\lambda_i$ [/mm] paarweise verschieden sind), dann ist $f(A) = B$ auf $Eig(A, [mm] \lambda_i)$ [/mm] (da dieser nur eindimensional ist und sowohl $A$ als auch $B$ dadrauf die Multiplikation mit [mm] $\lambda_i$ [/mm] bzw. [mm] $\mu_i$ [/mm] sind).
Da nun $V = [mm] \bigoplus_{i=1}^n [/mm] Eig(A, [mm] \lambda_i)$ [/mm] ist folgt $f(A) = B$ auf ganz $V$.
So, wenn ich nun Annahmen gemacht hab die nicht gelten, dann hilft dir das vielleicht trotzdem um eine Idee zu bekommen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 22.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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