Operatorkonvergenzen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] A_n [/mm] = [mm] |e_{0}> |
Hallo,
ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Ich verstehe den Sinn, und ich weiß auch welche verschiedenen Arten von Konvergenzen es gibt (Normkonvergenz, starke Konvergenz, schwache Konvergenz). Also wollte ich mal einfach "drauf los rechnen" und die schwache Konvergenz untersuchen.
" [mm] A_n [/mm] konvergiert schwach gegen A" bedeutet ja, dass für jedes lineare Funktional l auf dem [mm] L^2 [/mm] gilt, dass [mm] l(A_n [/mm] * f) gegen l(A*f) konvergiert. (f [mm] \in L^2(\IR)). [/mm] Nach dem Satz von Riesz ist das gleichbedeutend mit
[mm] \to [/mm] <g|A|f> (f, g [mm] \in L^2(\IR))
[/mm]
Eingesetzt ist das also
[mm] [/mm] = [mm]
[/mm]
Die [mm] [/mm] sind die sogenannten Entwicklungskoeffizienten für die Entwicklung von f nach der Basis [mm] e_{n}. [/mm] Ab hier komme ich allerdings nicht mehr weiter... Wie kann ich erkennen, was für n [mm] \to \infty [/mm] passiert?
Hat jemand einen Tipp für mich parat? Und kann mir auch jemand bei den anderen Konvergenztypen helfen?
Ich bin dankbar für jede Anregung!
Grüße!
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Sa 04.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]A_n[/mm] = [mm]|e_{0}>
> wobei die [mm]e_n[/mm] ein Orthonormalsystem bilden. Gibt es
> Konvergenzen dieser Operatorfolge? Wenn ja, welche?
> Hallo,
>
> ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Ich verstehe den
> Sinn, und ich weiß auch welche verschiedenen Arten von
> Konvergenzen es gibt (Normkonvergenz, starke Konvergenz,
> schwache Konvergenz). Also wollte ich mal einfach "drauf
> los rechnen" und die schwache Konvergenz untersuchen.
>
> " [mm]A_n[/mm] konvergiert schwach gegen A" bedeutet ja, dass für
> jedes lineare Funktional l auf dem [mm]L^2[/mm] gilt, dass [mm]l(A_n[/mm] *
> f) gegen l(A*f) konvergiert. (f [mm]\in L^2(\IR)).[/mm] Nach dem
> Satz von Riesz ist das gleichbedeutend mit
>
> [mm] \to[/mm] <g|A|f> (f, g [mm]\in L^2(\IR))[/mm]
>
> Eingesetzt ist das also
>
> [mm][/mm] = [mm][/mm]
>
> Die [mm][/mm] sind die sogenannten
> Entwicklungskoeffizienten für die Entwicklung von f nach
> der Basis [mm]e_{n}.[/mm] Ab hier komme ich allerdings nicht mehr
> weiter... Wie kann ich erkennen, was für n [mm]\to \infty[/mm]
> passiert?
Bedenke, dass die Konvergenz unabhängig von g und f gelten muss. [mm] $$ [/mm] ist als einfacher Faktor kein Problem, aber schwache Konvergenz bedeutet, dass [mm] $$ [/mm] für beliebige f konvergiert.
Tipp: Schreibe f als Entwicklung nach der Schauderbasis [mm] $|e_n>$: $f=\summe_m f_m |e_m>$, [/mm] dann siehst du sofort, welche Bedingung für die [mm] $f_m$ [/mm] gelten muss. Außerdem kannst du damit leicht die Normkonvergenz anschauen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
Danke für deinen Tipp!
Ich habe also:
[mm] [/mm] = [mm] \summe_{m}^{ } [/mm] = [mm] \summe_{m}^{ }f_m
[/mm]
In der letzten Summe bleiben wegen der Orthonormalität der [mm] e_{n} [/mm] nur der Term übrig, wo m=n ist.
Hab ich damit schon was erreicht? Ich seh's noch nicht...
Grüße,
Rabe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 05.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer!
> Danke für deinen Tipp!
>
> Ich habe also:
>
> [mm][/mm] = [mm]\summe_{m}^{ }[/mm]
> = [mm]\summe_{m}^{ }f_m [/mm]
>
> In der letzten Summe bleiben wegen der Orthonormalität der
> [mm]e_{n}[/mm] nur der Term übrig, wo m=n ist.
>
> Hab ich damit schon was erreicht? Ich seh's noch nicht...
Damit schwache Operatorkonvergenz vorliegt, muss diese Folge für beliebige f konvergieren und immer den gleichen Grenzwert haben. Welcher Grenzwert das ist, siehst du sofort, wenn du ein f einsetzt, bei dem nur endlich viele [mm] $f_m$ [/mm] von Null verschieden sind.
Viele Grüße
Rainer
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Das Skalarprodukt in der Summe ist nur dann 1 wenn m=n ist, folglich "überlebt" auch nur dieser eine Term. Der gesamte Summenausdruck ist also [mm] f_n. [/mm] Das ist aber nichts Neues, da ja das Skalarprodukt [mm] [/mm] gleich dem n-ten Entwicklungskoeffizient, also [mm] f_n, [/mm] ist.
Wenn ich mir ein f vorstelle, bei dem nur endlich viele [mm] f_m [/mm] von Null verschieden sind (also z.B. im Extremfall nur ein einziges [mm] f_m [/mm] von Null verschieden), bin ich mir nicht sicher... Der Limes ist doch n [mm] \to \infty [/mm] ; was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e_n [/mm] ? Ich kann mir das nicht wirklich vorstellen...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mo 06.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das Skalarprodukt in der Summe ist nur dann 1 wenn m=n ist,
> folglich "überlebt" auch nur dieser eine Term. Der gesamte
> Summenausdruck ist also [mm]f_n.[/mm] Das ist aber nichts Neues, da
> ja das Skalarprodukt [mm][/mm] gleich dem n-ten
> Entwicklungskoeffizient, also [mm]f_n,[/mm] ist.
>
> Wenn ich mir ein f vorstelle, bei dem nur endlich viele [mm]f_m[/mm]
> von Null verschieden sind (also z.B. im Extremfall nur ein
> einziges [mm]f_m[/mm] von Null verschieden), bin ich mir nicht
> sicher... Der Limes ist doch n [mm]\to \infty[/mm] ; was ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e_n[/mm] ? Ich kann mir das nicht
> wirklich vorstellen...
Du wirfst die verschiedenen Konvergenztypen durcheinander. Bleib bei der schwachen Konvergenz: du hast
[mm] = f_n [/mm] .
Was ist der Limes für [mm] $n\to \infty$, [/mm] falls nur endlich viele [mm] $f_n$ [/mm] von 0 verschieden sind? Kann es ein anderes f geben, für das dieser Limes einen anderen Wert hat? Wenn ja, dann hast du keine schwache Konvergenz.
Viele Grüße
Rainer
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Okay, dann gibt es keine schwache Konvergenz. Denn wenn aus der Tatsache, dass endlich viele [mm] f_n [/mm] von 0 verschieden sind, kann ich nicht wissen, was [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n [/mm] ist, denn das hängt von f ab. Für ein anderes f wird dieser Limes ein anderer sein.
Kann das so stimmen? Oder hab ich noch immer eine falsche Vorstellung?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, dann gibt es keine schwache Konvergenz. Denn wenn aus
> der Tatsache, dass endlich viele [mm]f_n[/mm] von 0 verschieden
> sind, kann ich nicht wissen, was
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n[/mm] ist,
??????????? Wenn nur endlich viele [mm] f_n [/mm] von 0 verschieden sind, so gilt doch mit einem Index m [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] f_n=0 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
FRED
> denn das hängt von f
> ab. Für ein anderes f wird dieser Limes ein anderer sein.
>
> Kann das so stimmen? Oder hab ich noch immer eine falsche
> Vorstellung?
>
> Grüße
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Klingt einleuchtend. Aber es liegt trotzdem keine schwache Konvergenz vor, denn man kann ja z.B. ein f nehmen, bei dem alle [mm] f_n [/mm] ungleich 0 sind. Da ist dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n \not= [/mm] 0. Oder nicht?
Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:21 Di 07.06.2011 | | Autor: | MatheRabe |
Zur Aktualisierung: Bei der Veröffentlichung des vorigen Posts dachte ich noch, ich hätte nur mehr 1 Tag Zeit für die Bearbeitung der Aufgabe. Glücklicherweise habe ich jetzt aber mehr Zeit dafür, weshalb ich nun die Fälligkeit des Artikels aktualisiere.
Die Frage bleibt also bestehen: Liege ich richtig damit, dass keine schwache Konvergenz vorliegt, aus den vorhin von mir genannten Gründen?
Danke für jede Hilfe!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 07.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Klingt einleuchtend. Aber es liegt trotzdem keine schwache
> Konvergenz vor, denn man kann ja z.B. ein f nehmen, bei dem
> alle [mm]f_n[/mm] ungleich 0 sind. Da ist dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n \not=[/mm] 0. Oder nicht?
Kann eine solche Funktion [mm] $L_2$-integrabel [/mm] sein?
Viele Grüße
Rainer
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Hi!
Du hast natürlich recht, damit f in [mm] L^2 [/mm] ist, muss sie stark genug im Unendlichen abfallen, was sie natürlich keinesfalls tut wenn alle Entwicklungskoeffizienten ungleich 0 sind.
Daraus kann man also eine schwache Konvergenz schließen: Denn jedes f aus dem [mm] L^2 [/mm] hat ab einem gewissen m Entwicklungskoeffizienten [mm] f_m, [/mm] die 0 sind. Der Limes ist daher immer gleich 0 für alle f, womit schwache Konvergenz gezeigt ist.
Das bedeutet, wir müssen uns die nächst stärkere Konvergenzart anschauen: die starke Konvergenz.
Damit wäre ich schon bei meiner nächsten Frage (weiß nicht, ob ich dazu einen neuen Artikel öffnen muss, aber es passt eigentlich zur Aufgabe, denn da ist es mir aufgefallen): Ich verstehe nicht ganz den Unterschied zwischen starker Konvergenz und Normkonvergenz.
Starke Konvergenz ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||(A_n [/mm] - A)*f|| = 0
Normkonvergenz: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||A_n [/mm] - A|| = 0
Ist der Unterschied zwischen den beiden nur, dass die starke Konvergenz sich auf die [mm] L^2-Funktionen-Norm [/mm] bezieht, die Normkonvergenz aber auf die Operatornorm?
Und du meintest, man kann aus der Gleichung für die schwache Konvergenz die starke Konvergenz auch gleich abarbeiten - wie meintest du das?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mi 08.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi!
> Du hast natürlich recht, damit f in [mm]L^2[/mm] ist, muss sie
> stark genug im Unendlichen abfallen, was sie natürlich
> keinesfalls tut wenn alle Entwicklungskoeffizienten
> ungleich 0 sind.
> Daraus kann man also eine schwache Konvergenz schließen:
> Denn jedes f aus dem [mm]L^2[/mm] hat ab einem gewissen m
> Entwicklungskoeffizienten [mm]f_m,[/mm] die 0 sind. Der Limes ist
> daher immer gleich 0 für alle f, womit schwache Konvergenz
> gezeigt ist.
>
> Das bedeutet, wir müssen uns die nächst stärkere
> Konvergenzart anschauen: die starke Konvergenz.
>
> Damit wäre ich schon bei meiner nächsten Frage (weiß
> nicht, ob ich dazu einen neuen Artikel öffnen muss, aber
> es passt eigentlich zur Aufgabe, denn da ist es mir
> aufgefallen): Ich verstehe nicht ganz den Unterschied
> zwischen starker Konvergenz und Normkonvergenz.
>
> Starke Konvergenz ist: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \|(A_n - A)*f\| = 0[/mm]
> Normkonvergenz: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \|A_n - A\| = 0[/mm]
>
> Ist der Unterschied zwischen den beiden nur, dass die
> starke Konvergenz sich auf die [mm]L^2[/mm]-Funktionen-Norm bezieht,
> die Normkonvergenz aber auf die Operatornorm?
Ja.
> Und du meintest, man kann aus der Gleichung für die
> schwache Konvergenz die starke Konvergenz auch gleich
> abarbeiten - wie meintest du das?
Auch hier kannst du die Basisentwicklung für f einsetzen.
Noch ein Punkt: Wenn starke Konvergenz vorliegt, was folgt dann für die schwache Konvergenz?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Do 09.06.2011 | | Autor: | MatheRabe |
Hallo!
Wenn starke Konvergenz vorliegt, dann liegt auch schwache Konvergenz vor, weil die starke Konvergenz (wie der Name schon sagt) ein stärkeres Kriterium ist, d.h. die schwache Konvergenz bereits beinhaltet. D.h., es wäre bei diesem Beispiel eigentlich am vernünftigsten, man prüft mal die Normkonvergenz und arbeitet sich dann rückwärts.
Mehr fällt mir dazu nicht ein ;)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Do 09.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Wenn starke Konvergenz vorliegt, dann liegt auch schwache
> Konvergenz vor, weil die starke Konvergenz (wie der Name
> schon sagt) ein stärkeres Kriterium ist, d.h. die schwache
> Konvergenz bereits beinhaltet. D.h., es wäre bei diesem
> Beispiel eigentlich am vernünftigsten, man prüft mal die
> Normkonvergenz und arbeitet sich dann rückwärts.
Ja, aber ich wollte außerdem darauf hinaus, dass der z.B. der starke und der schwache Grenzwert zusammenhängen. Wenn starke Konvergenz vorliegt, dann muss der Grenzwert der Null-Operator sein, sonst passt das Ergebnis nicht zum schwachen Grenzwert.
Das heisst, du kannst durch Einsetzen der Basisentwicklung von f explizit nachrechnen, ob [mm] $\|A_nf\|$ [/mm] für beliebige f gegen 0 geht. (Im Fall der Konvergenz in der Operatornorm musst du nur solche f betrachten, deren Norm 1 ist, was wiederum eine Bedingung an die [mm] $f_n$ [/mm] ist.)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Das bedeutet, wenn der Grenzwert der schwachen Konvergenz Null ist, dann muss der Grenzwert der starken Konvergenz (falls es einen solchen Grenzwert gibt) auch Null sein? Oder gilt das umgekehrt (also wenn es stark gegen 0 geht, dann geht es auch schwach gegen 0)?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 10.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Das bedeutet, wenn der Grenzwert der schwachen Konvergenz
> Null ist, dann muss der Grenzwert der starken Konvergenz
> (falls es einen solchen Grenzwert gibt) auch Null sein?
> Oder gilt das umgekehrt (also wenn es stark gegen 0 geht,
> dann geht es auch schwach gegen 0)?
Das ist doch keine Umkehrung. Wenn eine Operatorfolge stark konvergiert, dann konvergiert sie auch schwach, denn
[mm] A_n|f> \to A|f> [/mm] für beliebige f
impliziert [mm] $ \to [/mm] <g|A|f>$ für beliebige f und g.
Wenn also [mm] $A_n$ [/mm] stark gegen $A$ und schwach gegen den Nulloperator konvergiert, dann ist $<g|A|f>=0$ für beliebige f und g, also $A=0$.
Viele Grüße
Rainer
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