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Operatornormen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mi 04.06.2014
Autor: AntonK

Aufgabe
http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Matrixnorm

Hallo Leute,

ich verstehe das Beispiel in Wikipedia nicht ganz. In dem Bild ist ja die grüne Ellipse $A [mm] x,||x||_2=1$ [/mm] angegeben.

Was genau bedeutet das? Kann mit der Notation nichts anfangen.

Und was genau ist der blaue Kreis, also [mm] $||x||_2=||A||_2$? [/mm] Was bedeutet es, wenn Operatornorm einer Matrix und Vektornorm eines Vektors gleich sind?

Hoffe mir kann da jemand helfen, danke schonmal!

        
Bezug
Operatornormen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Mi 04.06.2014
Autor: fred97

A ist doch eine Abbildung: A: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm]

Sei [mm] K:=\{x \in \IR^2: ||x||_2=1\} [/mm] . Das ist der rote Kreis.

Die von [mm] ||*||_2 [/mm] induzierte Matrixnorm ist definiert(!) durch

  ||A||:= max A(K).

A(K) ist die grüne Menge (Ellipse).

Der blaue Kreis ist der Kreis mit dem kleinsten Radius, der die grüne Menge umfasst. Der Blaue Kreis hat den Radius $3 [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] $

Damit ist ||A||= max A(K) = 3 [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Operatornormen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Mi 04.06.2014
Autor: AntonK

Das heißt die grüne Ellipse sind alle Vektoren mit Länge 1, die von A abgebildet werden?

Bezug
                        
Bezug
Operatornormen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:54 Do 05.06.2014
Autor: meili

Hallo,
> Das heißt die grüne Ellipse sind alle Vektoren mit Länge
> 1, die von A abgebildet werden?

Vielleicht meinst du das richtige. Dein Satz ist aber etwas misverständlich.
Alle Vektoren mit der Länge 1 werden von A abgebildet. Das Bild ist dann die
grüne Ellipse. Diese Vektoren des Bildes können eine Länge größer oder
kleiner oder gleich 1 haben.

Gruß
meili


Bezug
                                
Bezug
Operatornormen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Do 05.06.2014
Autor: AntonK

Aber liegen immer in der grünen Ellipse?

Bezug
                                        
Bezug
Operatornormen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Do 05.06.2014
Autor: fred97


> Aber liegen immer in der grünen Ellipse?

Ja

[mm] \{Ax: x \in K \}= [/mm]  grüne Ellipse

FRED


Bezug
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