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Hallo Leute!
Ich habe eine Frage zu folgender Abschätzung:
Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$. $\forall [/mm] k [mm] \in \left\{1,\dotsc,n\right\}$ [/mm] sei:
[mm] $x^{\left(k\right)} [/mm] := [mm] \left(x^{\left(k\right)}_1,\dotsc,x^{\left(k\right)}_n\right) \in \mathbb{R}^n$
[/mm]
mit
[mm] $x^{\left(k\right)}_j [/mm] := [mm] \begin{cases}\frac{\left|a_{kj}\right|}{a_{kj}}&\textrm{falls }a_{kj} \ne 0 \\ 1 & \textrm{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Wir definieren außerdem:
[mm] $\left|\left|A\right|\right| [/mm] := [mm] \sup_{x\ne 0}\frac{\left|\left|Ax\right|\right|_{\infty}}{\left|\left|x\right|\right|_{\infty}}$
[/mm]
Wieso gilt dann:
[mm] $\max_{1 \le k \le n}\left|\left|Ax^{\left(k\right)}\right|\right|_{\infty} \leqslant \max_{1 \le k \le n}\left|\left|A\right|\right|\cdot{\left|\left|x\right|\right|_{\infty}}$
[/mm]
Ich würde außerdem gerne wissen, warum Folgendes gilt:
[mm] $\max_{1 \le k \le n}\left|\left|A\right|\right| [/mm] = [mm] \left|\left|A\right|\right|$
[/mm]
Vielen Dank für eure Mühe!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 10.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hi Leute!
Hat den wirklich niemand wenigstens eine kleine Idee zu meiner Frage? ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Ich bin damit bisher keinen Schritt weitergekommen, möchte es aber gerne verstehen...
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 10.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\max_{1 \le k \le n}\left|\left|Ax^{\left(k\right)}\right|\right|_{\infty} \leqslant \max_{1 \le k \le n}\left|\left|A\right|\right|\cdot{\left|\left|x\right|\right|_{\infty}}[/mm]
Da du so lange warten musstest: Das scheint mir ziemlicher Standardstoff zu sein, wenn mit dem Maximum, das über k läuft, das Maximum der Zeilen (Spalten?) gemeint ist, so vergleiche mal mit ![[]](/images/popup.gif) der Übung 2. Reicht das?
SEcki
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Hallo SEcki,
> > [mm]\max_{1 \le k \le n}\left|\left|Ax^{\left(k\right)}\right|\right|_{\infty} \leqslant \max_{1 \le k \le n}\left|\left|A\right|\right|\cdot{\left|\left|x\right|\right|_{\infty}}[/mm]
>
> Da du so lange warten musstest:
Danke, daß Du dich meiner erbarmt hast! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> Das scheint mir ziemlicher
> Standardstoff zu sein, wenn mit dem Maximum, das über k
> läuft, das Maximum der Zeilen (Spalten?) gemeint ist, so
> vergleiche mal mit
> der Übung 2.
> Reicht das?
Also, ich habe es mir angeschaut, aber der letzte Schritt des dortigen Beweises ist ja genau das, was ich nicht verstehe. Wie kommt man auf diese Abschätzung? Und dann auf die anschließende letzte Gleichung?
Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Karl!
Das ist gar kein Problem, wie du gleich sehen wirst  :
Nach Definition gilt ja:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\Vert Ax \Vert_{\infty}}{\Vert x \Vert_{\infty}}$,
[/mm]
also für alle $x [mm] \ne [/mm] 0$:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert \ge \frac{\Vert Ax \Vert_{\infty}}{\Vert x \Vert_{\infty}}$
[/mm]
und damit:
[mm] $\Vert [/mm] Ax [mm] \Vert_{\infty} \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_{\infty}$.
[/mm]
So, nun gilt das aber insbesondere auch für [mm] $x=x^{(k)}$, [/mm] also:
[mm] $\Vert Ax^{(k)} \Vert_{\infty} \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert \cdot \Vert x^{(k)} \Vert_{\infty}$.
[/mm]
Nun gilt dies aber für alle $k [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$. [/mm] Dies bedeutet: Die Ungleichung bleibt erhalten, wenn ich auf beiden Seiten das Maximum über $k [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] bilde:
[mm] $\max\limits_{k \in \{1,2,\ldots,n\}} \Vert Ax^{(k)} \Vert_{\infty} \le \max\limits_{k \in \{1,2,\ldots,n\}} \Vert [/mm] A [mm] \Vert \Vert x^{(k)} \Vert_{\infty}$.
[/mm]
So, und wenn man jetzt noch [mm] $\Vert x^{(k)} \Vert_{\infty}=1$ [/mm] beachtet, dann sollte alles klar sein, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Danke Stefan!
Diese mathematischen Beweise sind schon sehr kompliziert, aber diesen hier habe ich nun komplett nachvollziehen können.
Viele Grüße
Karl
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