Optimale Stoppzeit < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 18.09.2012 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Ein Würfelspiel mit einem fairen Würfel und folgenden Regeln:
-die gewürfelten Augensummen solange aufaddieren bis man stoppt
-falls vor dem Stoppen eine 1 gewürfelt wird,fällt man auf 0 Punkte zurück
Wie lautet die optimale Stoppstrategie? Wann sollte man stoppen, um eine höchst mögliche Augensumme zu erreichen? |
Hallochen...
also ich habe mir zu der Fragestellung Folgendes modelliert:
T [mm] \in \IN [/mm] ist maximale Wurfanzahl
[mm] X_{n}(w)=w_{n} [/mm] die einzelnen Würfelergebnisse
[mm] S_{n}=\summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] Augensumme (ohne 1 gewürfelt)
[mm] (\mathcal{F}_{n})_{n=1,...,T} [/mm] die natürliche Filtration
[mm] \beta_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ist gleich 6} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ist ungleich 6 } \end{cases}
[/mm]
[mm] Y_{n}=S_{n}\beta_{n} [/mm] ist die Augensumme nach dem n-ten Wurf.
Beim Zeitpunkt [mm] n\le [/mm] T lohnt sich ein erneutert Wurf dann,wenn gilt:
[mm] Y_{n} [/mm] < E [mm] (Y_{n+1}|\mathcal{F}_{n})
[/mm]
nach weiteren Umformungen erhalt man.
[mm] S_{n} [/mm] < [mm] \bruch{E(X_{1}\beta_{1})}{\mathcal{P}(X_{1}=1)}
[/mm]
[mm] S_{n} [/mm] < 20
Nun will ich mir ja eine optimale Stoppzeit [mm] \gamma\* [/mm] bestimmen.
Kann die dann wie folgt aussehen?
[mm] \gamma\*=inf_{i=1,...,T} \{S_{n} < \bruch{E(X_{1}\beta_{1})}{\mathcal{P}(X_{1}=1)}\}=inf_{i=1,...,T}\{S_{n} \le\bruch{E(X_{1}\beta_{1})}{\mathcal{P}(X_{1}=1)}\}=20
[/mm]
Da aber zum Zeitpunkt [mm] n\le [/mm] T:
[mm] S_{n} [/mm] < [mm] \bruch{E(X_{1}\beta_{1})}{\mathcal{P}(X_{1}=1)}
[/mm]
[mm] S_{n} [/mm] < 20
gilt lohnt es sich nochmal zu würfeln.
Stimmt das so? Ich bin mir halt total unsicher was diese Stoppzeiten [mm] \gamma\* [/mm] angeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Di 18.09.2012 | | Autor: | simplify |
Huch... ich habe gerade festgestellt,dass ich beim beschreiben etwas durch einander gekommen bin. bei [mm] \beta_{n} [/mm] muss es natürlich gleich und ungleich 1 heißen.
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> Ein Würfelspiel mit einem fairen Würfel und folgenden
> Regeln:
> -die gewürfelten Augensummen solange aufaddieren bis man
> stoppt
> -falls vor dem Stoppen eine 1 gewürfelt wird,fällt man
> auf 0 Punkte zurück
>
> Wie lautet die optimale Stoppstrategie? Wann sollte man
> stoppen, um eine höchst mögliche Augensumme zu
> erreichen?
Hallo simplify,
mir sind diese "Regeln" nicht wirklich klar !
Es scheint ja für die gesamte erlaubte Anzahl Würfe
keine Begrenzung zu geben.
Angenommen, ich würfle nach der Reihe:
5 3 2 6 1 2 4 4 6 3 3 5 3 6 2
und stoppe dann. Nach meiner Interpretation der Regeln
wären dann die aufaddierten Summen der Reihe nach:
5 8 10 16 0 2 6 10 16 19 22 27 30 36 38
und ich höre mit der Summe 38 auf. Ich könnte aber
weiterfahren, zwischendurch einigemal mit einer 1
wieder auf 0 runterkommen, aber mit genügend Geduld
könnte ich solange weiter würfeln, bis ich einmal die
Summe 1000 erreicht (oder knapp überschritten) habe
und dann aufhören.
Oder zerstört eine einzige "1" alles - also darf ich dann
gar nicht weiter würfeln ?
Interessant wäre allenfalls noch folgende Variante:
Nach einer "1" wird die Summe auf 0 zurückgesetzt,
ich darf aber weiter würfeln, habe aber insgesamt
maximal z.B. 20 Würfe zu gut.
Also, wie ist das Spiel nun genau gemeint ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 18.09.2012 | | Autor: | simplify |
Hallo Al-Chwarizmi,
du darfst halt nur solange würfeln bis die allererste 1 gefallen ist. Sagen wir du würfelst 2,4,3,5 dann sind das 14 punkte. Stoppt man also wenn man diese 14 punkte erreicht hat ist alles gut und man hat die punkte gesichert. würfelt man noch einmal und es fällt eine 1, also 2,4,3,5,1 erhält man 0 punkte, also die 14 punkte davor sind verloren.
Ich hoffe, ich konnte es jetzt verständlich genug erklären.
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Hallo simplify,
ich würde folgendermaßen vorgehen:
Den Erwartungswert für n = 1, 2, 3 ... usw. Würfe nach deinen Regeln berechnen. Bei einer bestimmten Wurfanzahl [mm] n_{optimal} [/mm] wird der Erwartungswert ein Maximum haben.
Grüße
franzzink
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 18.09.2012 | | Autor: | simplify |
Danke für deine Antwort.
Ich weiß was du meinst. Ich habe es auch schon mit der Methode überprüft, aber ich würde es gerne mit hilfe dieser optimalen Stoppzeit [mm] \gamma\* [/mm] beschreiben.
Meine Frage ist viel eher,ob ich das richtig formuliert habe,also dieses [mm] \gamma\* [/mm] bzw. allgemein das Modell?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 18.09.2012 | | Autor: | franzzink |
> Ich weiß was du meinst. Ich habe es auch schon mit der
> Methode überprüft, aber ich würde es gerne mit hilfe
> dieser optimalen Stoppzeit [mm]\gamma\*[/mm] beschreiben.
Ok. Ich komme auf einen optimalen Erwartungswert E [mm] \approx [/mm] 8,03755 bei n = 5 und n= 6 Würfen.
Vielleicht hilft dir das ja dabei, dein Ergebnis zu überprüfen.
Es gibt übrigens noch eine bessere Spielstrategie als immer die gleiche Wurfanzahl auszuführen:
Sei P die Anzahl der im vorherigen Wurf erreichten Punkte.
Der Erwartungswert für einen zusätzlichen Wurf ist somit:
$ E = - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * P + [mm] \bruch{5}{6}*\bruch{1}{5}*(2+3+4+5+6) [/mm] $
Dieser Erwartungswert ist null für P = 20. Hat man weniger als 20 Punkte sollte man somit noch einen zusätzlichen Wurf ausführen.
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Hallo simplify,
ich denke, dass es gar nicht sinnvoll ist, nach einer
"optimalen Stoppzeit" zu fragen, die vorausbestimmt
werden könnte.
Eine Strategie müsste doch schrittweise angepasst
werden je nach dem bisherigen Verlauf des Spiels.
Wenn nach einer Anzahl von Würfen, bei denen
keine Eins erschienen ist, die Summe S erreicht
worden ist, muss ich entscheiden, ob es Sinn macht,
noch einen weiteren Wurf zu wagen oder doch
lieber nicht.
Falls ich mich entscheide, aufzuhören, dann ist der
gesicherte "Gewinn" gleich S.
Falls ich noch einen Wurf machen will, so gibt es
mit je 1/6 Wahrscheinlichkeit die Varianten:
Augenzahl=1 ---> Gewinn=0
Augenzahl=2 ---> Gewinn=S+2
Augenzahl=3 ---> Gewinn=S+3
Augenzahl=4 ---> Gewinn=S+4
Augenzahl=5 ---> Gewinn=S+5
Augenzahl=6 ---> Gewinn=S+6
Der Erwartungswert für die erreichte Summe nach dem
nächsten Wurf ergibt sich als Mittelwert, also ein Sechstel
der Summe der 6 möglichen Ergebnisse, d.h.
[mm] E=\frac{5*S+20}{6}
[/mm]
Das Wagnis des nächsten Wurfes lohnt sich (im
Mittel) genau dann, wenn E>S ist. Die Auflösung
dieser Ungleichung führt auf S<20. Somit hat man
eine einfache Entscheidungsregel: Solange die
erreichte Summe kleiner als 20 ist, soll man
weiter würfeln. Hat man aber die Summe 20
(oder sogar etwas mehr) erreicht, so ist der
richtige Zeitpunkt zum Abbrechen erreicht.
LG Al-Chw.
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Nachdem für die ursprüngliche Aufgabe (bei der eine
erste gewürfelte Eins das Spiel in jedem Fall mit
dem Ergebnis Summe=0 beendet) die optimale
Spielstrategie ermittelt ist ("Weiter würfeln, solange
Summe < 20"), könnte man sich nun allenfalls an
die schwierigere Variante mit folgenden leichten
Abwandlungen der Regeln wagen:
Es ist von vornherein eine maximale erlaubte
Anzahl von Würfen festgelegt, beispielsweise
N=20 oder N=100.
Falls man einmal eine Eins gewürfelt hat, gehen
zwar die vorher erwürfelten Punkte verloren,
aber man kann trotzdem weiter würfeln, falls
die maximale Wurfzahl N noch nicht erreicht
ist. So baut man erneut eine Summe auf.
Die Entscheidung, ob man weiter würfeln soll
oder nicht, wird dann nach jedem Wurf nicht
nur von der bis dahin erreichten Summe S
abhängig sein, sondern auch davon, ob man
etwa im Falle eines kommenden Einser-Wurfs
noch genügend Würfe frei hat, um wieder eine
ausreichende Summe aufzubauen.
Diese Aufgabe ist bestimmt deutlich schwieriger -
ich weiß auch nicht, ob ich sie sicher lösen kann ...
Ich stelle mir vor, dass da eher komplexe
rekursive Methoden erforderlich sein werden.
LG Al-Chwarizmi
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