Optimallösung mit Lagrange < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 12.09.2011 | | Autor: | tiku |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie wenn möglich jeweils den Optimalwert und eine Optimallösung der folgenden Optimierungsprobleme:
Minimiere 2*x + y
unter [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 9
x, y [mm] \in \IR [/mm] |
| Aufgabe 2 | Maximiere 2*x + y
unter [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 9
x, y [mm] \in \IR [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend. Ich bin das erste Mal hier unterwegs, von daher hoffe ich, dass
ich alles richtig gemacht habe und im richtigen Unterforum unterwegs bin.
Das habe ich bisher gemacht:
Lagrange-Funktion gebildet:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = 2*x + y + [mm] \lambda*(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 9)
Partiell abgeleitet:
1. [mm] \bruch{\partial L}{\partial x} [/mm] = 2 + [mm] 2*x*\lambda
[/mm]
2. [mm] \bruch{\partial L}{\partial y} [/mm] = 1 + [mm] 2*y*\lambda
[/mm]
3. [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 9
Ableitungen null-gesetzt:
1. 2 + [mm] 2*x*\lambda [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = - [mm] \bruch{1}{\lambda}
[/mm]
2. 1 + [mm] 2*y*\lambda [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y = - [mm] \bruch{1}{2*\lambda}
[/mm]
Wenn ich dies aber nun in die 3. Ableitung einsetzen will, komme ich auf kein gescheites [mm] \lambda. [/mm] Bin allerdings auch sehr schlecht in umformen.
Könnte mir vielleicht jemand einen Anstoß geben, wie ich auf die richtigen Extremwerte für x, y und [mm] \lambda [/mm] komme? Zudem wüsste ich gerne wo der Unterschied besteht zwischen der Minimierungs- und Maximierungsaufgabe. Wären doch am Ende die selben Ergebnisse? Das Überprüfen per Hesse-Matrix sollte dann kein Problem mehr für mich sein.
Danke
Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mo 12.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo und willkommen im Matheraum,
> Bestimmen Sie wenn möglich jeweils den Optimalwert und
> eine Optimallösung der folgenden Optimierungsprobleme:
>
> Minimiere 2*x + y
> unter [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 9
> x, y [mm]\in \IR[/mm]
> Maximiere 2*x + y
> unter [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 9
> x, y [mm]\in \IR[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend. Ich bin das erste Mal hier unterwegs, von
> daher hoffe ich, dass
> ich alles richtig gemacht habe und im richtigen Unterforum
> unterwegs bin.
das passt schon. Mit der Zeit, wenn man den richtigen Überblick hat, findet man das richtige Unterforum. Dass du eigene Lösungsansätze angibst, ist top ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Das habe ich bisher gemacht:
> Lagrange-Funktion gebildet:
>
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = 2*x + y + [mm]\lambda*(x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 9)
Korrekt.
>
> Partiell abgeleitet:
>
> 1. [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}[/mm] = 2 + [mm]2*x*\lambda[/mm]
ja.
>
> 2. [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}[/mm] = 1 + [mm]2*y*\lambda[/mm]
>
ja.
> 3. [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 9
ja.
>
> Ableitungen null-gesetzt:
>
> 1. 2 + [mm]2*x*\lambda[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = - [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm]
>
> 2. 1 + [mm]2*y*\lambda[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] y = - [mm]\bruch{1}{2*\lambda}[/mm]
ja.
> Wenn ich dies aber nun in die 3. Ableitung einsetzen will,
> komme ich auf kein gescheites [mm]\lambda.[/mm] Bin allerdings auch
> sehr schlecht in umformen.
Naja, einfach mal einsetzen:
3. [mm]x^2+y^2-9=(-\bruch{1}{\lambda})^2+(-\bruch{1}{2\lambda})^2-9=\bruch{1}{\lambda^2}+\bruch{1}{4\lambda^2}-9=\bruch{4}{4\lambda^2}+\bruch{1}{4\lambda^2}-9=\bruch{5}{4\lambda^2}-9=0[/mm]
Das jetzt nach [mm]\lambda[/mm] umzustellen, dürfte kein Problem mehr sein.
> Könnte mir vielleicht jemand einen Anstoß geben, wie ich
> auf die richtigen Extremwerte für x, y und [mm]\lambda[/mm] komme?
> Zudem wüsste ich gerne wo der Unterschied besteht zwischen
> der Minimierungs- und Maximierungsaufgabe. Wären doch am
> Ende die selben Ergebnisse?
Vorsicht. Lagrange ist für Minimierungsprobleme angelegt. Du musst dein Maximierungs- in ein Minimierungsproblem umschreiben!
> Das Überprüfen per
> Hesse-Matrix sollte dann kein Problem mehr für mich sein.
>
> Danke
> Tim
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mo 12.09.2011 | | Autor: | tiku |
Danke für die schnelle Antwort barsch! Hat sehr geholfen. Werde mich nun mal an den Rest ransetzen, danke.
Tim
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