Optimierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Ein Kreis von Radius r>0 soll in ein Dreieck von minimaler Fläche eingepasst werden. Welche Höhe hat das sparsamste Dreieck? |
Hallo,
ich wollte dies mit der Lagrange-Methode lösen.
Sei [mm] R=\frac{1}{2}Grundseite [/mm] des Dreiecks
h=Höhe des Dreiecks
Als Funktion f habe ich den Fächeninhalt des Dreieckes genommen:
f(R,h) = [mm] \frac{1}{2}2Rh=Rh
[/mm]
Als Nebenbedingung g habe ich folgende Annahme gemacht: Der Inkreisradius minus r muss gleich 0 sein:
[mm] g(r,h)=\frac{2Rh}{a+b+c}-r=0
[/mm]
[mm] (\frac{2Rh}{a+b+c} [/mm] ist der Inkreisradius)
Folgende Gleichungen sind aufzustellen:
grad f = [mm] \lambda [/mm] grad g
g=0
grad f = [mm] (h,R)^t
[/mm]
grad g = [mm] (-1,\frac{2R}{a+b+c})^t
[/mm]
=>
[mm] (h,R)^t [/mm] = [mm] \lambda (-1,\frac{2R}{a+b+c})^t
[/mm]
Gleichungssystem:
[mm] h=-\lambda
[/mm]
[mm] R=\lambda \frac{2R}{a+b+c}
[/mm]
[mm] \frac{2Rh}{a+b+c}-r=0
[/mm]
Allerdings hat dieses Gleichungssystem keine Lösung (also nur die leere Menge).
Wo liegt mein Fehler?
Gruß,
Rutzel
|
|
| |
|
> Ein Kreis von Radius r>0 soll in ein Dreieck von minimaler
> Fläche eingepasst werden. Welche Höhe hat das sparsamste
> Dreieck?
> Hallo,
>
> ich wollte dies mit der Lagrange-Methode lösen.
>
> Sei [mm]R=\frac{1}{2}Grundseite[/mm] des Dreiecks
> h=Höhe des Dreiecks
>
> Als Funktion f habe ich den Fächeninhalt des Dreieckes
> genommen:
>
> f(R,h) = [mm]\frac{1}{2}2Rh=Rh[/mm]
>
> Als Nebenbedingung g habe ich folgende Annahme gemacht: Der
> Inkreisradius minus r muss gleich 0 sein:
>
> [mm]g(r,h)=\frac{2Rh}{a+b+c}-r=0[/mm]
Hallo,
was sollen denn a,b,c sein? Ich weiß es natürlich: die Dreiecksseiten.
Diese sind nicht unabhängig von R und h, sondern im Gegenteil äußerst abhängig.
In Deiner Rechnung ist die Summe der Seitenlängen eine Konstante, was ja nicht richtig ist.
Gruß v. Angela
>
> [mm](\frac{2Rh}{a+b+c}[/mm] ist der Inkreisradius)
>
> Folgende Gleichungen sind aufzustellen:
>
> grad f = [mm]\lambda[/mm] grad g
> g=0
>
> grad f = [mm](h,R)^t[/mm]
>
> grad g = [mm](-1,\frac{2R}{a+b+c})^t[/mm]
>
> =>
>
> [mm](h,R)^t[/mm] = [mm]\lambda (-1,\frac{2R}{a+b+c})^t[/mm]
>
> Gleichungssystem:
>
> [mm]h=-\lambda[/mm]
>
> [mm]R=\lambda \frac{2R}{a+b+c}[/mm]
>
> [mm]\frac{2Rh}{a+b+c}-r=0[/mm]
>
> Allerdings hat dieses Gleichungssystem keine Lösung (also
> nur die leere Menge).
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> Gruß,
> Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 24.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
ah,...
Also, sei das Dreieck ist gleichschenklig.
a sei die grundseite, b=c die Schenkel. Sei a/2=R
[mm] c^2=b^2= R^2+h^2
[/mm]
[mm] b=\sqrt(R^2+h^2)
[/mm]
Also ist
a+b+c = 2R+2b = 2R + [mm] 2\sqrt(R^2+h^2)
[/mm]
Setze ich das dort ein, wo ich in meinem ersten post a+b+c verwendet habe, und stelle die Gleichungen auf, hat das Gleichungsystem allerdings wieder keine Lösungen (Mathematica).
Gruß,
Rutzel
|
|
|
| |
|
Hallo Rutzel,
alles, was Du bei dieser Aufgabenstellung ermitteln kannst, ist ein h(r). Dabei ist die Aufgabe nicht einmal geschickt formuliert. Was soll denn das "sparsamste" Dreieck sein? Das mit der geringsten Höhe hat zwei unendlich lange Seiten und eine der Länge 2r, in der zwei Höhen zusammenfallen. Die dritte Höhe ist leider auch unendlich. Das Dreieck mit der kleinsten Fläche ist gleichseitig, hat die Höhe(n) 3r und die Seitenlänge [mm] \wurzel{6}r.
[/mm]
Soweit die geometrische Lösung.
Was erwartest Du nun von Mathematica? Vielleicht stellst Du ja nur die falsche Frage...
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:25 Di 24.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
Naja,
grad f = [mm] (h,R)^t
[/mm]
grad g = grad [mm] (\frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}}-r)
[/mm]
Gleichungssystem:
grad g = [mm] \lambda [/mm] grad f
g=0
Die komponenten der Gradienten mit mathematica berechnen,
und lösen lasse.
Mathematica findet keine Lösungen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Rutzel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo Rutzel,
ich bin jetzt sozusagen "raus aus der Nummer", weil ich mit Mathematica und seinem Befehlscode nicht auskenne.
Mein Hinweis besagte aber, dass Du keine Zahlenwerte für h und r erwarten kannst. Liegt es vielleicht daran? Soweit ich weiß, kann Mathematica doch auch mit Parametern rechnen. Definiere also r als solchen. Wenn das nicht geht, bleibt Dir nur, verschiedene Werte für r einzusetzen. Du solltest dann immer h=3r erhalten.
Grüße,
reverend
PS: Weil ich Deine Eingabe nicht verifizieren kann, lasse ich die Frage auf "teilweise beantwortet".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 27.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 24.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hier mein Problem nochmal ausführlich:
Für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks gilt, wenn wir mit R die halbe Grundseite und mit h die Höhe auf der Grundseite bezeichnen:
u = [mm] 2R+2\sqrt{R^2+h^2}
[/mm]
die Fläche:
[mm] f(R,h)=R\cdot [/mm] h
Inkreisradius:
[mm] H(R,h)=\frac{2 f(R,h)}{u}=\frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}}
[/mm]
Als Nebenbedinung formuliere ich:
g(R,h)=H(R,h)-r = [mm] \frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}} [/mm] -r
[mm] grad(f(R,h))=(h,R)^t
[/mm]
[mm] grad(g(R,h))=(\frac{h(-R+\sqrt{h^2+R^2})}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})},\frac{R^2}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})})^t
[/mm]
Es gilt also folgendes Gleichungssstem zu lösen:
[mm] h=\lambda\frac{h(-R+\sqrt{h^2+R^2})}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})}
[/mm]
[mm] R=\lambda\frac{R^2}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})}
[/mm]
[mm] 0=g(R,h)=\frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}} [/mm] -r
Für dieses findet Mathematica allerdings nur die leere Menge als Lösung.
Gruß,
Rutzel
|
|
|
| |
|
> Hier mein Problem nochmal ausführlich:
>
> Für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks gilt, wenn
> wir mit R die halbe Grundseite und mit h die Höhe auf der
> Grundseite bezeichnen:
>
> u = [mm]2R+2\sqrt{R^2+h^2}[/mm]
>
> die Fläche:
>
> [mm]f(R,h)=R\cdot[/mm] h
>
> Inkreisradius:
> [mm]H(R,h)=\frac{2 f(R,h)}{u}=\frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}}[/mm]
>
> Als Nebenbedinung formuliere ich:
> g(R,h)=H(R,h)-r = [mm]\frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}}[/mm] -r
>
> [mm]grad(f(R,h))=(h,R)^t[/mm]
>
> [mm]grad(g(R,h))=(\frac{h(-R+\sqrt{h^2+R^2})}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})},\frac{R^2}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})})^t[/mm]
Hallo,
ich bekomme bei der partiellen Ableitung von g nach R etwas völlig anderes, vielleicht prüfst Du das nochmal.
(Kann natürlich auch sein, daß ich mich vertan habe.)
Gruß v. Angela
>
> Es gilt also folgendes Gleichungssstem zu lösen:
>
> [mm]h=\lambda\frac{h(-R+\sqrt{h^2+R^2})}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})}[/mm]
> [mm]R=\lambda\frac{R^2}{h^2+R(R+\sqrt{h^2+R^2})}[/mm]
> [mm]0=g(R,h)=\frac{2Rh}{2R+2\sqrt{R^2+h^2}}[/mm] -r
>
> Für dieses findet Mathematica allerdings nur die leere
> Menge als Lösung.
>
> Gruß,
> Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 24.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Kreis von Radius r>0 soll in ein Dreieck von minimaler
> Fläche eingepasst werden. Welche Höhe hat das sparsamste
> Dreieck?
> Hallo,
>
> ich wollte dies mit der Lagrange-Methode lösen.
>
> Sei [mm]R=\frac{1}{2}Grundseite[/mm] des Dreiecks
> h=Höhe des Dreiecks
>
> Als Funktion f habe ich den Fächeninhalt des Dreieckes
> genommen:
>
> f(R,h) = [mm]\frac{1}{2}2Rh=Rh[/mm]
>
> Als Nebenbedingung g habe ich folgende Annahme gemacht: Der
> Inkreisradius minus r muss gleich 0 sein:
>
> [mm]g(r,h)=\frac{2Rh}{a+b+c}-r=0[/mm]
>
> [mm](\frac{2Rh}{a+b+c}[/mm] ist der Inkreisradius)
>
> Folgende Gleichungen sind aufzustellen:
>
> grad f = [mm]\lambda[/mm] grad g
> g=0
>
> grad f = [mm](h,R)^t[/mm]
>
> grad g = [mm](-1,\frac{2R}{a+b+c})^t[/mm]
>
> =>
>
> [mm](h,R)^t[/mm] = [mm]\lambda (-1,\frac{2R}{a+b+c})^t[/mm]
>
> Gleichungssystem:
>
> [mm]h=-\lambda[/mm]
>
> [mm]R=\lambda \frac{2R}{a+b+c}[/mm]
>
> [mm]\frac{2Rh}{a+b+c}-r=0[/mm]
>
> Allerdings hat dieses Gleichungssystem keine Lösung (also
> nur die leere Menge).
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> Gruß,
> Rutzel
Hallo,
bist du (aktuell themengebunden) gezwungen, derart komplizierte mathematische Geschütze aufzufahren?
Die Aufgabe ist elementargeometrisch leicht lösbar.
1) Du weist nach, dass bei einer vorgegebenen Seitenlänge a (die größer als der doppelte Inkreisradius sein muss), der Flächeninhalt für b=c (gleichschenkliges Dreieck) kleiner ist als für b [mm] \ne [/mm] c.
2) Du weist nach, dass für gleichseitige Dreiecke der Inhalt kleiner ist als für nur gleichschenklige.
Gruß Abakus
|
|
|
|
