Optionales Stoppen < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 Sa 14.05.2011 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | [mm] (B_t)_{t\ge{0}} [/mm] eine eindim. Brownsche Bewegung mit kanonischer Filtrierung [mm] (\IF_t)_{t\ge{0}}. [/mm] Man muss zeigen, dass für alle a,b>0 gilt
[mm] \IP({B_t=a+bt} [/mm] für ein [mm] {t>0})=e^{-2ab}.
[/mm]
Hinweis: Optionales Stoppen für die geometrische Brownsche Bewegung
[mm] (X_t=exp(\sigma(B_t-d)-\bruch{\sigma^2t}{2}))_{t\ge{0}}, [/mm] wobei [mm] d\in \IR, \sigma>0 [/mm] |
Hallo!!
ich hoffe jemand kann mir bei der Aufgabe helfen.
Ich habe mir überlegt:
ich definiere [mm] T=inf\{t>0:B_t=a+bt\} [/mm] als die Ersteintrittszeit.
Dann mit dem optionalen stoppen gilt:
[mm] E[X_0]=E[X_T]
[/mm]
[mm] E[exp(\sigma(B_0-d)-\bruch{\sigma^20}{2})]=e^{-\sigma*d}
[/mm]
[mm] E[X_T]=E[exp(\sigma(a+bt-d)-\bruch{\sigma^2t}{2})]
[/mm]
Mein Problem ist: ich habe keine Ahnung wie man auf die Verteilung kommt, die in der Aufgabe steht.
Wäre super wenn mir jemand von Euch helfen würde.
Vielen Dank im Voraus!!
Beste Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 14.05.2011 | | Autor: | lilia25 |
Bitte-Bitte HIIIILFE!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wenn Du in der geometrischen die beiden Parameter $d=a$, [mm] $\sigma=2b$ [/mm] setzt, dann gilt im Falle [mm] $B_t=a+bt$:
[/mm]
[mm] $X_t=1$
[/mm]
Zusätzlich kannst Du [mm] $X_t$ [/mm] aufspalten in
[mm] $X_t=e^{-2ab}e^{\sigma B_t-\frac{\sigma^2}2t}$
[/mm]
Das bringst Du jetzt mit der Ruinwahrscheinlichkeit bei Martingalen in Verbindung.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 16.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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