Optionales Stopping Theorem < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Fr 31.01.2014 | | Autor: | kalor |
Hi
Ich habe ein Frage. Wenn ich ein abschliessbares Supermartingal [mm] $(X_T)$ [/mm] habe (closable), dann weiss ich ja, dass für zwei Stoppzeiten [mm] $T\ge [/mm] S$ gilt
[mm] $E[X_T|\mathcal{F}_S]\le X_S$
[/mm]
Häufig haben wir eine Folge von Stoppzeiten [mm] $(T_n)$. [/mm] Wieso kann man dann hier das Theorem anwenden:
[mm] $E[X_{T_n}\mathbf1_{\{T_n<\infty\}}]\ge E[X_{T}\mathbf1_{\{T_n<\infty\}}]$
[/mm]
wobei $T$ irgendeine Stoppzeit ist mit $T> [mm] T_n$.
[/mm]
Etwas präziser, es geht um folgenden Beweis (aus Revuz/Yor, Prop. 3.4):
Für ein positive supermartingal $X$ und [mm] $T(\omega):=\inf\{t:X_t(\omega)=0\}\wedge \inf\{t>0:X_{t-}(\omega)=0\}$. [/mm] Dann verschwindet für $P$-fast alle [mm] $\omega$, $X_\cdot(\omega)$ [/mm] auf [mm] $[T(\omega),\infty]$.
[/mm]
Für den Beweis wird [mm] $T_n:=\inf\{t:X_t\le \frac{1}{n}\}$ [/mm] definiert. Dann hat man [mm] $T_{n-1}\leT_n\le [/mm] T$. Auf [mm] $A:=\{T_n<\infty\}$ [/mm] hat man [mm] $X_{T_n}\le \frac{1}{n}$. [/mm] Dann läst man für [mm] $q\in\mathbb{Q}$ [/mm] (ist eine Stoppzeit) erhält man
[mm] $\frac{1}{n}\ge E[X_{T_n}\mathbf1_A]\ge E[X_{T+q}\mathbf1_A]$
[/mm]
Mich würde nun auch noch interessieren, wieso man den limes nehmen kann und ihn mit dem Erwartungswert vertauschen kann.
Mich würde auch interessieren, wieso man einfach den Limes in den Erwartungswert ziehen kann?
mfg
KalOR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
steht rechts wirklich auch die Indikatorfunktion von [mm] $\{T_n < \infty\}$ [/mm] oder steht da ebenfalls T?
Ist [mm] X_t [/mm] nichtnegativ?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Fr 31.01.2014 | | Autor: | kalor |
Hallo Gonozal
Genau $X$ ist nichtnegativ. Es geht um einen Beweis. Siehe meinen ersten Post, ich habe alles nötige ergänzt
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Hiho,
deine Frage ist mal wieder ein schönes Beispiel dafür, dass man selbst etwas nicht "vereinfachen" sollte, denn deine Anfangsfrage hat nichts mit dem eigentlichen Problem zu tun.....
> Für den Beweis wird [mm]T_n:=\inf\{t:X_t\le \frac{1}{n}\}[/mm] definiert. Dann hat man [mm]T_{n-1}\le T_n\le T[/mm]. Auf [mm]A:=\{T_n<\infty\}[/mm] hat man [mm]X_{T_n}\le \frac{1}{n}[/mm]. Dann läst man für [mm]q\in\mathbb{Q}[/mm] (ist eine Stoppzeit) erhält man
>
> [mm]\frac{1}{n}\ge E[X_{T_n}\mathbf1_A]\ge E[X_{T+q}\mathbf1_A][/mm]
Ist dir die Ungleichung denn klar?
> Mich würde nun auch noch interessieren, wieso man den limes nehmen kann und ihn mit dem Erwartungswert vertauschen kann.
Das wird da nirgends getan.
>
> Mich würde auch interessieren, wieso man einfach den Limes in den Erwartungswert ziehen kann?
Das wird da auch nirgends getan.
Aber machen wir mal langsam:
[mm] $E[X_{T_n}1_A] \le E\left[\bruch{1}{n} 1_A\right] [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} E[1_A] \le \bruch{1}{n}*1$
[/mm]
Schaffst du die andere Ungleichung alleine?
Insbesondere solltest du den Satz
> Dann läst man für [mm]q\in\mathbb{Q}[/mm] (ist eine Stoppzeit) erhält man
nochmal überarbeiten, der ist unverständlich.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Sa 01.02.2014 | | Autor: | kalor |
Hallo Gonozal
Nein die Ungleichung ist mir, so wie sie im Buch hergeleitet wird nicht klar. Es steht im Buch, dass sie aus dem Optional Stopping theorem folgt Ich würde nun gerne wissen, wieso man dies hier anwenden darf?
Danach wird aber, im Beweis des Buches, der limes genommen so dass man erhält
[mm] $\lim_n\frac{1}{n}\ge\lim_nE[X_{T+q}\mathbf1_{T_n<\infty}]\ge0$
[/mm]
Klar [mm] $\frac{1}{n}\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$. [/mm] Folgt aus obigen nun, dass
[mm] $E[X_{T+q}\mathbf1_{T_n<\infty,\forall n}]=0$?
[/mm]
Danke und Gruss
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Hiho,
> Nein die Ungleichung ist mir, so wie sie im Buch hergeleitet wird nicht klar. Es steht im Buch, dass sie aus dem Optional Stopping theorem folgt Ich würde nun gerne wissen, wieso man dies hier anwenden darf?
Du hattest ja bereits: [mm] $T_{n-1} \le T_n \le [/mm] T [mm] \le [/mm] T + q$
Nun folgt daraus mit dem Optional-Stopping-Theorem:
[mm] $E\left[X_{T+q} | T_n\right] \le X_{T_n}$
[/mm]
Und daraus sofort:
[mm] $E\left[X_{T+q}1_A\right] \le E\left[X_{T_n}1_A\right]$
[/mm]
> [mm]E[X_{T+q}\mathbf1_{T_n<\infty,\forall n}]=0[/mm]?
Nein, es folgt: [mm] $\lim_{n\to\infty} E[X_{T+q}\mathbf1_{\{T_n<\infty\}}] [/mm] = 0$
Du kannst aber den [mm] \lim [/mm] in den Erwartungswert ziehen. Warum?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 02.02.2014 | | Autor: | kalor |
Hallo Gonozal
Dank für deine Geduld, aber ich glaube wir sprechen nicht vom Gleichen :) Ich verstehe zwei Sachen nicht:
Wieso kann man überhaupt das Optional Stopping Theorem anwenden? Denn mir wäre es klar ohne die Indikatorfunktion [mm] $\mathbf1_A$, [/mm] aber wieso kann ich es für den Prozess [mm] $X\mathbf1_A$ [/mm] verwenden?
Und meine zweite Frage ist gerade, wieso ich den Limes am Schluss in den Erwartungswert ziehen kann. Danke für deine Hilfe!
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Hiho,
> Dank für deine Geduld, aber ich glaube wir sprechen nicht
> vom Gleichen :) Ich verstehe zwei Sachen nicht:
Ich glaube schon, mag aber am unterschiedlichen Grad des Verständnisses liegen.
> Wieso kann man überhaupt das Optional Stopping Theorem anwenden? Denn mir wäre es klar ohne die Indikatorfunktion [mm]\mathbf1_A[/mm], aber wieso kann ich es für den Prozess [mm]X\mathbf1_A[/mm] verwenden?
Tut man ja nicht, wie ich dir in meiner Antwort vorgeführt habe. Sondern es ergibt sich nach Anwendung des OST auf den Prozess X.
Auch das habe ich dir bereits hingeschrieben.
Aber nochmal für dich:
Anwendung des OST auf X liefert:
$ [mm] E\left[X_{T+q} | T_n\right] \le X_{T_n} [/mm] $
Und daraus folgt $ [mm] E\left[X_{T+q}1_A\right] \le E\left[X_{T_n}1_A\right] [/mm] $ aufgrund von Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Versuch das mal zu folgern, indem du wie folgt anfängst:
$ [mm] E\left[X_{T+q}1_A\right] [/mm] = [mm] E\Big[E\left[X_{T+q}1_A | T_n \right]\Big] [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
> Und meine zweite Frage ist gerade, wieso ich den Limes am Schluss in den Erwartungswert ziehen kann.
Da solltest du dir ja gerade Gedanken drüber machen.
Tipp: Es gilt ja gerade [mm] $T_1 \le T_n \le [/mm] T$.
Was gilt demzufolge für die Indikatorfunktionen?
Was folgt daraus für den Gesamtausdruck [mm] $X_{T+q}1_{T_n}$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 02.02.2014 | | Autor: | kalor |
Hallo Gono
Ich glaub ich sehe es nun> Hiho,
>
>
> Anwendung des OST auf X liefert:
> [mm]E\left[X_{T+q} | T_n\right] \le X_{T_n}[/mm]
>
mit [mm]E\left[X_{T+q} | T_n\right] \le X_{T_n}[/mm] meinst du [mm]E\left[X_{T+q} | \mathcal{F}_{T_n}\right] \le X_{T_n}[/mm], oder?
> Und daraus folgt [mm]E\left[X_{T+q}1_A\right] \le E\left[X_{T_n}1_A\right][/mm]
> aufgrund von Eigenschaften der bedingten
> Wahrscheinlichkeit.
>
> Versuch das mal zu folgern, indem du wie folgt anfängst:
> [mm]E\left[X_{T+q}1_A\right] = E\Big[E\left[X_{T+q}1_A | T_n \right]\Big] = \ldots[/mm]
>
dann kann ich [mm] $\mathbf1_A$ [/mm] herausnehme, da dies [mm] $\mathcal{F}_{T_n}$ [/mm] messbar ist.
> > Und meine zweite Frage ist gerade, wieso ich den Limes am
> Schluss in den Erwartungswert ziehen kann.
>
> Da solltest du dir ja gerade Gedanken drüber machen.
> Tipp: Es gilt ja gerade [mm]T_1 \le T_n \le T[/mm].
> Was gilt
> demzufolge für die Indikatorfunktionen?
> Was folgt daraus für den Gesamtausdruck [mm]X_{T+q}1_{T_n}[/mm]?
>
Hier würde ich so argumentieren: Für jede Stoppzeit $T$ gilt: [mm] $X_T\mathbf1_A\le X_T$ [/mm] und nach dem Optional Stopping theorem gilt ebenso ($X$ ist ein supermartingale): [mm] $E[X_T]\le E[X_0]<\infty$, [/mm] also ist [mm] $X_T$ [/mm] integrierbar und somit eine Majorante für [mm] $X_T\mathbf1_A$. [/mm] Also kann ich Dominated Convergence anwenden. Richtig? :)
Gruss
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Hiho,
> dann kann ich [mm]\mathbf1_A[/mm] herausnehme, da dies [mm]\mathcal{F}_{T_n}[/mm] messbar ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also ist [mm]X_T[/mm] integrierbar und somit eine Majorante für [mm]X_T\mathbf1_A[/mm]. Also kann ich Dominated Convergence anwenden. Richtig? :)
Wobei du nicht [mm] X_T [/mm] hast, sondern [mm] $X_{T+q}$, [/mm] aber an der Argumentation ändert das nichts.
Gruß,
Gono.
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