Ordnung Automorphismengruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich bin über einen Satz über die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe gestolpert.
[mm] |G| = n [mm] \Rightarrow [/mm] ord (Aut(G)) | (n-1)!
Leider finde ich nirgends einen Beweis.
Ich finde, das sieht nach Permutationen aus.... aber erklären kann ich nix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mi 05.04.2006 | | Autor: | statler |
Das glaube ich nie im Leben! Eine zykl. Gruppe der Ordnung n hat [mm] \phi(n) [/mm] Erzeugende, und durch das Bild einer Erzeugenden ist der Automorphismus festgelegt.
Oder habe ich jetzt einen Total-Blackout?
Gruß
Dieter
Oh, ich hatte das Teiler-Zeichen übersehen, Scheibe! Aber dann ist es klar, weil die Automorphismen eine Untergruppe der Gruppe der bijektiven Abbildungen, die e festlassen, bilden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mi 05.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]|G| = n [mm]\Rightarrow[/mm] ord (Aut(G)) | (n-1)!
> Leider finde ich nirgends einen Beweis.
Selber beweisen?!?
Wieviele Bijektionen gibt es denn von G nach G? (Ganz allgemein - keine Isomoprhismen). Was bilden diese Bijektionen? Was passiert mit dem neutralen Element durch Elemente von Aut(G)? Wie steht jetzt Aut(G) in Relation zu den (gesamten) Bijektionen.
Zusatzfrage (deren Lösung ich jetzt nicht genau kenne): gibt es für jedes n Gruppen, so das die Automorphismen wirklich (n-1)! Elemente haben? (Ich meine nein, hab aber keinen kompletten Ansatz)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Selber beweisen?!?
Ich würd nicht fragen, wenn ich das nicht versucht hätte!
Wieviele Bijektionen gibt es denn von G nach G? (Ganz allgemein - keine Isomoprhismen).
Keine Ahnung, ich kenne zwar die Begriffe Bijektion, usw. aber über die Anzahlen oder deren Aussehen kann ich nie Aussagen treffen.Meiner Meinung nach müsste die Anzahl der Bijetionen von G der Anzahl der Permutationen bzw. Elemente von [mm] S_n [/mm] entsprechen. Dann wären das n!
Was bilden diese Bijektionen?
Eine Gruppe???
Was passiert mit dem neutralen Element durch Elemente von Aut(G)?
Es wird festgelassen, da ein Automorphismus ein Homomorphismus von G nach G ist.
Wie steht jetzt Aut(G) in Relation zu den (gesamten) Bijektionen.
Sind die Bijektionen die {e} festlassen.
Zusatzfrage (deren Lösung ich jetzt nicht genau kenne): gibt es für jedes n Gruppen, so das die Automorphismen wirklich (n-1)! Elemente haben? (Ich meine nein, hab aber keinen kompletten Ansatz)
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Mi 05.04.2006 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Bite mit den '>' quoten, sonst kann man das kaum lesen.
>> Selber beweisen?!?
> Ich würd nicht fragen, wenn ich das nicht versucht hätte!
Naja, es standen keine Ansätze im Post ...
>> Wieviele Bijektionen gibt es denn von G nach G? (Ganz
>> allgemein - keine Isomoprhismen).
>
> Keine Ahnung, ich kenne zwar die Begriffe Bijektion, usw.
> aber über die Anzahlen oder deren Aussehen kann ich nie
> Aussagen treffen.
Über die Bijektionen einer Menge mit n Elementen? Wieviele es da gibt? Huch, das weiß man doch: es sind [m]n![/m]
>> Was bilden diese Bijektionen?
>
> ???
Eine Gruppe.
> Es wird festgelassen, da ein Automorphismus ein
> Homomorphismus von G nach G ist.
Aut(G) ist eine Untergruppe der Bijektionen, die e festlassen.
>> Zusatzfrage (deren Lösung ich jetzt nicht genau kenne):
>> gibt es für jedes n Gruppen, so das die Automorphismen
>> wirklich (n-1)! Elemente haben? (Ich meine nein, hab aber
>> keinen kompletten Ansatz)
>
> ???
Naja, so unverständlich war das jetzt nicht ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> Bite mit den '>' quoten, sonst kann man das kaum lesen.
Sorry!
> Naja, es standen keine Ansätze im Post ...
Weil ich zwar viele Dinge versucht habe, aber nichts zu etwas geführt hat.
> >> Wieviele Bijektionen gibt es denn von G nach G? (Ganz
> Über die Bijektionen einer Menge mit n Elementen? Wieviele
> es da gibt? Huch, das weiß man doch: es sind [m]n![/m]
Hmm,... da war ich dann schneller,hab eben noch geschieben, es sind n!, aber das könnte ich z.B. auch nicht beweisen.
> > Es wird festgelassen, da ein Automorphismus ein
> > Homomorphismus von G nach G ist.
>
> Aut(G) ist eine Untergruppe der Bijektionen, die e
> festlassen.
Jepp, aber kann ich daraus ersehen, dass |Aut (G)| (n-1)! teilt? Ich mein klar, es gibt (n-1)! Bijektionen die e festlassen. Aber warum muss es diese Zahl dann teilen?
> Naja, so unverständlich war das jetzt nicht ...
>
> SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Hmm,... die Bijektionen die e festlassen sind eine Untergruppe von allen Bijektionen. Die Automorphismen sind noch einmal eine Untergruppe dieser Gruppe. Damit habe ich, dass [mm] |Aut(G| | (n-1)! [/mm] Allerdings finde ich, dass man noch zeigen müsste, dass die Anzahl der Bijektionen wirklich [mm] n! [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mi 05.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hmm,... da war ich dann schneller,hab eben noch geschieben,
> es sind n!, aber das könnte ich z.B. auch nicht beweisen.
Ähem, das sind ja schon richtige Basics! Schau dir das mit den Permutationen nochmal an - was ist die Definition einer Permutation? Dann sollte alles klar sein.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
*g* Ich weiss jetzt nicht, wie ich eine Permutation beschreiben soll, eine "Vertauschung" von Elementen einer Gruppe.... wobei ich hier nicht meine, dass jeweils 2 Elemente vertauscht werden müssen, die Möglichkeiten, die es gibt, Elemente aufeinander zu schicken. Es ist vollkommen klar, dass die Ordnung einer Permutationsgruppe = n! ist. Hmm... du hast recht, es wirklich vollkommen klar.
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