Ordnung, Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 02.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Gruppenhomomorphismus [mm] $\phi: G\to [/mm] H$. Weiter sei [mm] $g\in [/mm] G$ und [mm] $o(g)<\infty$. [/mm] Zeigen Sie, dass die Ordnung von [mm] $\varphi(g)$ [/mm] ein Teiler der Ordnung von g ist. |
Hi,
ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht voran.
Ich habe so angesetzt:
Sei k die Ordnung von g, also [mm] g^k=e
[/mm]
Ein Gruppenhomomorphismus bildet neutral Element auf neutral Element ab, also
[mm] $\varphi(e)=e$
[/mm]
[mm] $\varphi(g^k)=e$
[/mm]
[mm] $\varphi(g)^k=e$
[/mm]
k teilt offensichtlich k, aber ich weiß ja nicht ob k schon die "minimale" Ordnung von [mm] $\varphi$ [/mm] ist.
Ich hatte mir überlegt die Primfaktorzerlegung von k zu betrachten.
Dann muss einer der Primfaktoren (oder eine Zusammensetzung davon) [mm] $\varphi(g)$ [/mm] schon aufs neutral Element schicken und dadurch auch weitere Verkettungen, aber auch das hilft nicht wirklich...
Über einen Tipp würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei ein Gruppenhomomorphismus [mm]\phi: G\to H[/mm].
der heißt unten aber [mm] $\varphi$, [/mm] oder?
> Weiter sei [mm]g\in G[/mm] und [mm]o(g)<\infty[/mm]. Zeigen Sie, dass die Ordnung
> von [mm]\varphi(g)[/mm] ein Teiler der Ordnung von g ist.
> Hi,
>
> ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht voran.
>
> Ich habe so angesetzt:
>
> Sei k die Ordnung von g, also [mm]g^k=e[/mm]
Besser noch: [mm] $k\,$ [/mm] ist [mm] $=\min\{m \in \IN\mid g^m=e \}\,.$ [/mm] Diese Minimalitätseigenschaft
ist Dir bekannt? (Bei mir [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}\,.$)
[/mm]
> Ein Gruppenhomomorphismus bildet neutral Element auf
> neutral Element ab, also
>
> [mm]\varphi(e)=e[/mm]
> [mm]\varphi(g^k)=e[/mm]
> [mm]\varphi(g)^k=e[/mm]
>
> k teilt offensichtlich k, aber ich weiß ja nicht ob k
> schon die "minimale" Ordnung von [mm]\varphi[/mm] ist.
>
> Ich hatte mir überlegt die Primfaktorzerlegung von k zu
> betrachten.
> Dann muss einer der Primfaktoren (oder eine Zusammensetzung
> davon) [mm]\varphi(g)[/mm] schon aufs neutral Element schicken und
> dadurch auch weitere Verkettungen, aber auch das hilft
> nicht wirklich...
>
> Über einen Tipp würde ich mich freuen.
Ich würde es so machen: Bekanntlich folgt aus
[mm] $\varphi(g)^t=e$ [/mm] (rechts steht das $e [mm] \in [/mm] H$, ich schreibe unten mal [mm] $e_H$ [/mm] dafür)
sofort, dass die Ordnung von [mm] $\varphi(g)$ [/mm] ein Teiler von [mm] $t\,$ [/mm] sein muss. (Dazu findest
Du sicher einen Satz in der Vorlesung, oder ich verweise nachträglich meinetwegen
auf die entsprechende Stelle aus dem Buch "Algebra" von Meyberg/Karpfinger).
Daher reicht es
[mm] $\varphi(g)^k=e_H$
[/mm]
nachzurechnen. Das bekommst Du hin, oder? (Den Exponenten "kann man
*reinziehen*", weil...?).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 02.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Die einzigen Sätze zu einer Teilerbeziehung, die wir hatten, war der Satz von Lagrange und zwei Korollare die daraus folgten, aber die lassen sich hier nicht anwenden, oder würden nicht den Punkt der Aufgabe treffen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die einzigen Sätze zu einer Teilerbeziehung, die wir
> hatten, war der Satz von Lagrange und zwei Korollare die
> daraus folgten, aber die lassen sich hier nicht anwenden,
> oder würden nicht den Punkt der Aufgabe treffen.
schau mal in "Algebra" von Meyberg/Karpfinger, Satz 3.5. Oder beweise
die folgende dort formulierte Aussage selbst, ich formuliere sie mal ein wenig um:
Sei [mm] $G\,$ [/mm] eine multiplikative Gruppe mit neutralem Element [mm] $e\,.$ [/mm] Sei $a [mm] \in [/mm] G$ mit
$o(a) < [mm] \infty$ [/mm] ($o(a)$ ist die Ordnung von [mm] $a\,$ [/mm] in [mm] $G\,$).
[/mm]
Für $s [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt dann:
[mm] $a^s=e$ $\iff$ $o(a)|s\,.$
[/mm]
Zum Beweis: Die Richtung [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] ist ziemlich trivial, und für Dich auch
uninteressant.
Zu [mm] "$\Longrightarrow$":
[/mm]
Nimm' zuerst mal $s [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $s > 0$ (also $s [mm] \in \IN$) [/mm] an. Dann kannst Du
$s=k*o(a)+r$ mit einem $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] und einem $r [mm] \in \{0,\,...,\,\red{o(a)-1}\}$
[/mm]
schreiben.
Folgere nun
[mm] $r=0\,.$
[/mm]
Hinweis:
Betrachte mit [mm] $r=s-k*o(a)\,$ [/mm] den Ausdruck
[mm] $a^r$
[/mm]
P.S. Mit diesem Satz folgt dann (beachte die Rollen!)
[mm] $\varphi(g)^t [/mm] = [mm] e_H$ $\Longrightarrow$ $o(\varphi(g)) \mid t\,.$
[/mm]
P.P.S. Die Fallunterscheidung mit $s [mm] \in \IN$ [/mm] ist vielleicht nicht notwendig, aber sie
kann helfen, wenn man den Überblick bewahren will.
Gruß,
Marcel
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Die übliche Definition der Elementordnung ist nicht gut. Besser ist es, zu definieren: Sei $ G $ eine Gruppe, $ [mm] g\in [/mm] G $. Sei [mm] $\IZ\longrightarrow [/mm] G $ der eindeutig bestimmte Homomorphismus, welcher die 1 auf g sendet. Der Kern ist dann von der Form $ [mm] n\IZ [/mm] $ für ein eindeutig bestimmtes $ [mm] n\in\IN [/mm] $ und dieses nennt man die Ordnung von $ g $.
Falls die von $ g $ erzeugte Untergruppe unendlich ist, ist die Ordnung nach dieser Definition 0, nicht unendlich, und dies erspart einem viele Spezialfälle, die völlig unnötig sind (beispielsweise kann man auch in dem Satz aus der Aufgabe auf Endlichkeit verzichten). In allen anderen Fällen ist diese Definition gleichbedeutend zur klassischen, aber nützlicher. Überlege dir das zur Übung, es ist nicht schwer. Vergleiche auch mit dem Konzept der Charakteristik eines Ringes oder Körpers, wo es genauso gehandhabt wird (die Charakteristik eines Ringes ist die Ordnung der 1 in der unterliegenden auditiven Gruppe).
Sei jetzt ein Homomorphismus $ [mm] G\xrightarrow [/mm] {\ \ f\ \ } H $ gegeben und $ [mm] g\in [/mm] G $. Wir betrachten die Komposition [mm] $\IZ\xrightarrow [/mm] {\ \ k\ \ } [mm] G\xrightarrow [/mm] {\ \ f\ \ } H $, wobei der erste Homomorphismus die 1 auf $ g $ schickt. Die Komposition schickt die 1 auf $f (g) $.
In dieser Inkarnation ist offensichtlich, dass [mm] $\ker [/mm] k [mm] \le\ker (f\circ [/mm] k)$, was genau dann der Fall ist, wenn der Erzeuger der ersten Untergruppe ein Vielfaches des Erzeugers der zweiten ist, also nach unserer besseren Definition, wenn [mm] $\operatorname {ord}\varphi (g)\mid\operatorname [/mm] {ord} g $. Dies gilt sogar dann, wenn die Ordnung von g Null (bzw. unendlich) ist.
Die Lektion: Ein paar Pfeile in den Definitionen und Argumenten machen Vieles trivial.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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