Ordnung auf IR(X) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $K$ der Körper der rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten. Dann gibt es zu jedem [mm] $f\in [/mm] K$ eindeutig bestimmte teilerfremde Polynome $p$ und $q$ mit $f=p/q$, sodass der Leitkoeffizient von $q$ genau $1$ ist. Eine rationale Funktion heiße positiv, wenn der Leitkoeffizient von $p$ größer oder gleich $1$ ist. Man zeige, dass $K$ auf diese Weise angeordnet, aber nicht archimedisch angeordnet ist. |
Hallo,
ich glaube, ich verstehe die Definition der Ordnung nicht richtig. Wenn ich zum Beispiel [mm] $f=1/2\in [/mm] K$ betrachte, mit $p=1/2$, $q=1$, beides konstante Polynome. Dann ist doch sowohl $f$, als auch $-f$ positiv, oder?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 16.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]K[/mm] der Körper der rationalen Funktionen mit reellen
> Koeffizienten. Dann gibt es zu jedem [mm]f\in K[/mm] eindeutig
> bestimmte teilerfremde Polynome [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] mit [mm]f=p/q[/mm], sodass
> der Leitkoeffizient von [mm]q[/mm] genau [mm]1[/mm] ist. Eine rationale
> Funktion heiße positiv, wenn der Leitkoeffizient von [mm]p[/mm]
> größer oder gleich [mm]1[/mm] ist. Man zeige, dass [mm]K[/mm] auf diese
> Weise angeordnet, aber nicht archimedisch angeordnet ist.
> Hallo,
>
> ich glaube, ich verstehe die Definition der Ordnung nicht
> richtig. Wenn ich zum Beispiel [mm]f=1/2\in K[/mm] betrachte, mit
> [mm]p=1/2[/mm], [mm]q=1[/mm], beides konstante Polynome. Dann ist doch sowohl
> [mm]f[/mm], als auch [mm]-f[/mm] positiv, oder?
Das sehe ich nicht so. Es ist doch
[mm] f=\bruch{\bruch{1}{2}}{1}, [/mm] also hat p Leitkoeffizienten [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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Ja, du hast Recht. Keines von beiden ist positiv, $p$ hat Leitkoeffizient $1/2$, $-p$ hat Leitkoeffizient $-1/2$, das ist beides $<1$. Außerdem ist $f$ nicht Null. Wie kann das sein?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Fr 16.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ja, du hast Recht. Keines von beiden ist positiv, [mm]p[/mm] hat
> Leitkoeffizient [mm]1/2[/mm], [mm]-p[/mm] hat Leitkoeffizient [mm]-1/2[/mm], das ist
> beides [mm]<1[/mm]. Außerdem ist [mm]f[/mm] nicht Null.
> Wie kann das sein?
Diese Frage verstehe ich nicht.
FRED
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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Wenn es sich hier tatsächlich um einen geordneten Körper handelt, sollte doch jedes Element positiv sein, oder Null sein, oder sein Inverses sollte positiv sein, oder nicht?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ist meine Verwunderung klar?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Mir ist es nun klar. Das scheint ein Fehler zu sein. In der Englischen Übersetzung von Amann Escher ![[]](/images/popup.gif) hier muss der Leitkoeffizient von $p$ größer oder gleich Null sein, Nicht Eins.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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