Ordnung einer 2x2 Matrix < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:37 Mi 25.02.2009 | | Autor: | susi_san |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und G ={ [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & 1 }: [/mm] a,b [mm] \in \IZ/p\IZ, [/mm] a [mm] \not=0 [/mm] }
Bestimmen sie die Ordung von G. |
kann mir jemand ne genaue anleitung geben wie ich auch das Ergebniss komm? denn indem ich G immer wieder potenziere komm ich zu keinem ergebnis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mi 25.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man sowas nicht sieht, probiert man mal mit klienen Primzahlen also etwa 2, 3 oder 5.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mi 25.02.2009 | | Autor: | susi_san |
Warum denn primzahlen?
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> Warum denn primzahlen?
hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da steht doch, daß p eine Primzahl sein soll.
Du könntest nun ein bißchen experimentieren, indem Du Dir z.B. p=3 nimmst und dann mal lustig lospotenzierst.
Danach vielleicht mal mit p=5.
Wenn man erstmal weiß, was man gerne zeigen würde ist es meist einfacher, und das bekommt man oft heraus, wenn man mal etwas weniger allgemein rechnet.
Was ast du denn bisher gerechnet?
Hast Du auch beachtet, daß Du Dich in [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] bewegst?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mi 25.02.2009 | | Autor: | susi_san |
Ich weiß aber nicht welche zahlen ich für a,b einsetzen soll.
vom Prinzip her muss ich ja einfach nur die Matrix potenzieren mit 2,3,4... und so weiter bis die Einheitsmatirx rauskommt, doch ich weiß nicht was ich mit a,b machen soll.denn durch die beiden zahlen komme ich auf kein auswertbares ergebnis.
und meine Primzahl steht doch nur für [mm] \IZ/\pIZ [/mm] und hilft mir da auch nicht weiter. sagt das p etwas über die Ordung von a und b aus???
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> Ich weiß aber nicht welche zahlen ich für a,b einsetzen
> soll.
> vom Prinzip her muss ich ja einfach nur die Matrix
> potenzieren mit 2,3,4... und so weiter bis die
> Einheitsmatirx rauskommt, doch ich weiß nicht was ich mit
> a,b machen soll.denn durch die beiden zahlen komme ich auf
> kein auswertbares ergebnis.
>
> und meine Primzahl steht doch nur für [mm]\IZ/ p\IZ[/mm] und hilft
> mir da auch nicht weiter. sagt das p etwas über die Ordung
> von a und b aus???
Hallo,
ja.
Zum einen der kleine Satz von Fermat (nachschlagen, ich bin gerade in Eile), und dann ist natürlich p*x=0 für alle x.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 25.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei p=3 kannst du doch fuer a nur 1 oder 2 (wegen [mm] a\ne0) [/mm] und fuer b 0,1,2 einsetzen.
dann [mm] a^2 [/mm] fuer die 2 Moeglichkeiten ausrechnen!
bei p=5 entsprechend a=1, 2, 3 ,4 und die Quadrate und hoch 3 ansehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 25.02.2009 | | Autor: | susi_san |
Also ist es so, das mein p gleich a bzw b ist? komm mit [mm] \IZ/p\IZ [/mm] durcheinander. bin mir nicht so im klaren was das heißt.
kannst du das mit den möglichkeiten nochmal erklären?
wie sieht das denn für den allgemeinen fall aus, weil der ist ja hier gefragt.
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> Also ist es so, das mein p gleich a bzw b ist? komm mit
> [mm]\IZ/p\IZ[/mm] durcheinander. bin mir nicht so im klaren was das
> heißt.
Hallo,
das sind die Restklassen modulo p.
Am besten liest Du mal nach, wie die definiert sind und welche Verknüpfungen man hat.
[mm] \IZ/5\IZ [/mm] ={0,1,2,3,4}, und es ist z.B.
3+4=2, denn 3+4=7 läßt bei Dividieren durch 5 den Rest 2,
3+2=0, denn s.o, also ist -3=2
5*2=0, denn wenn man mit 5 multipliziert, ist der Rest biem Dividieren natürlich =0,
3*2=1, also ist [mm] 2^{-1}=3.
[/mm]
Entsprechend dann für anderes p.
Für p=5 stehen also überhaupt nur 5 Elemente zur Verfügung.
Setze doch einfach mal irgendwelche für a und b ein und rechne die Potenzen aus.
Dann versuch's allgemein mit a,b, jedoch für p=5.
> kannst du das mit den möglichkeiten nochmal erklären?
> wie sieht das denn für den allgemeinen fall aus, weil der
> ist ja hier gefragt.
Solange Du mit den Restklassen nicht umzughen weißt, wirst Du doch den allgemeinen Fall nicht lösen können.
Mach's doch erstmal mit Zahlen, damit Du die Sache durchschaust.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 25.02.2009 | | Autor: | susi_san |
so hab mich jetz schlau gemacht und es auch verstanden, denke ich.
Hab jetz ein wenig rumgerechnet und für p=2 ist es ja ganz einfach, da ist Ordung von G gleich 1,weil sofort die Einheitsmatrix rauskommt.
Aber wenn ich z.b. p=3 nehme,dann hab ich fpr a nur 1,2 als Einsetzungsmöglichkeiten und für b=0,1,2. Wenn ich mir da jetzt a=1 und b=2 hab ich ja nen matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] , doch wenn ich die immer mit sich selbst multipliziere,dann erhalte ich nie die einheitsmatrix,weil die zahl an der stelle wo das b stand immer größer wird und niemals 0 wird [mm] G^{2}=\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 1 } [/mm] ..., damit ich die einheitsmatix erhalte.
wie hab ich denn das zu interpretieren??? welche ordung hat es denn jetzt und wie schließe ich von dem fall auf das allgemeine???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 25.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast das immer noch nicht verstanden
n [mm] \IZ_3 [/mm] ist [mm] 1^2=1; 2^2=1 [/mm] denn 4 laesst bei Division durch 3 den Rest 1
in [mm] IZ_5
[/mm]
[mm] 1^n=1 [/mm] ; [mm] 2^2=4; 2^3=3 [/mm] ; [mm] 2^4=1
[/mm]
[mm] 3^2=4; 3^3=2 ;3^4=1,
[/mm]
[mm] 4^2=1
[/mm]
wenn du die Zahlen <p potenzierst, kannst du nie groessere Zahlen als p-1 rauskriegen. in [mm] \IZ_p [/mm] kriegen.
wie lange hoechstens musst du sie potenzieren um 1 zu kriegen?
(Ihr koennt diese Aufgabe doch nicht machen, wenn ihr die [mm] \IZ_p [/mm] gar nicht kennt?)
sieh mal nach, was ihr darueber alles behandelt habt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 25.02.2009 | | Autor: | susi_san |
Achso, ich glaub jetzt hab ich es. Also ist meine eben angegebene [mm] Matrix\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 1 } [/mm] nicht die matrix,weil die 4 nicht in [mm] \IZ/3\IZ [/mm] liegt. daher würde die 4 der 0 entsprechen und ich hätte die einheitsmatrix. mensch ist das genial. DANKE
so und wie mach ich das jetzt allgemein?
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> Achso, ich glaub jetzt hab ich es. Also ist meine eben
> angegebene [mm]Matrix\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 1 }[/mm] nicht die
> matrix,weil die 4 nicht in [mm]\IZ/3\IZ[/mm] liegt.
Hallo,
nein, das ist nicht richtig.
Es ist in [mm] IZ/3\IZ \qqad 4\equiv [/mm] 1, weil bede bei Division durch drei den Rest 1 lassen.
Gruß v. Angela
. daher würde die
> 4 der 0 entsprechen und ich hätte die einheitsmatrix.
> mensch ist das genial. DANKE
>
> so und wie mach ich das jetzt allgemein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 26.02.2009 | | Autor: | susi_san |
also ich würde jetz mal sagen allgeiem wären das p-1 Möglichkeiten um a zu wählen und p möglichkeiten um b zu wählen. ist jetz meine Ordung von G (p-1)p ?
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> also ich würde jetz mal sagen allgeiem wären das p-1
> Möglichkeiten um a zu wählen und p möglichkeiten um b zu
> wählen. ist jetz meine Ordung von G (p-1)p ?
Hallo,
möglicherweise habe ich die ganze Zeit auf die falsche Aufgabenstellung geantwortet...
Lautet die Aufgabe wie im Eingangspost angegeben, dann liegst Du mit mit Deiner Antwort richtig - und die Aufgabe ist sehr leicht.
Dein "Potenzieren" hatte solch einen starken Reiz, und es hatte mich glauben lassen, es ginge darum, die Ordnung der von [mm] \pmat{a&b\\0&1} [/mm] erzeugten Gruppe herauszufinden, wobei [mm] a\not=0.
[/mm]
(Durch genaues Studieren der Aufgabe hätte ich herausfinden können, daß das nicht der Fall ist. Tut mir leid, wenn ich dadurch unnötig verwirrt habe.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 26.02.2009 | | Autor: | susi_san |
Die Aufgabe ist aus einer Klausur und es gibt nur 2 Punkte auf die Aufgabe. Ich vermute ja auch das es recht einfach ist.
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