Ordnung einer Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 08.05.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | Sei (G, e, *) eine Gruppe von endlicher Ordnung n. Beweisen Sie, dass für alle g [mm] \in [/mm] G, [mm] g^n [/mm] = e gilt. |
Hallo Leute,
habe ein Problem bei der Aufgabe, ich weiß nicht, wie ich da beginnen soll, Ordnung ist ja die Anzahl der Elemente in der Gruppe, habe deswegen an den Satz von LaGrange gedacht, wäre das eine richtige Idee?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 08.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
versuche mal ob du diesen Satz beweisen kannst:
Ist G eine Gruppe und [mm]a \in G[/mm] ein Element endlicher Ordnung, so gilt [mm]a^{k}=e[/mm] für [mm]k \in\IZ[/mm] genau dann wenn [mm] ord_{G}(a) [/mm] die Zahl k teilt. (Tipp: Teile k mit Rest durch [mm] ord_{G}(a))
[/mm]
Dann folgt deine Behauptung aus diesem Satz mit dem Satz von Lagrange.
Hoffe das hilft!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (G, e, *) eine Gruppe von endlicher Ordnung n. Beweisen
> Sie, dass für alle g [mm]\in[/mm] G, [mm]g^n[/mm] = e gilt.
> Hallo Leute,
>
> habe ein Problem bei der Aufgabe, ich weiß nicht, wie ich
> da beginnen soll, Ordnung ist ja die Anzahl der Elemente in
> der Gruppe, habe deswegen an den Satz von LaGrange gedacht,
> wäre das eine richtige Idee?
betrachte für $g [mm] \in [/mm] G$ die Gruppe [mm] $\,,$ [/mm] die von [mm] $g\,$ [/mm] erzeugt wird (wenn Du die folgende Darstellung nicht kennst, beweise sie!):
[mm] $$=\{g^k: k \in \IN \text{ und }k \le \min \{m \in \IN: g^m=e\}\}\,,$$
[/mm]
wobei zu beachten ist, dass [mm] $\{m \in \IN: g^m=e\}\not=\emptyset$ [/mm] nach Voraussetzung gilt.
Überlege Dir dabei, welche Rolle dabei [mm] $\min \{m \in \IN: g^m=e\}$ [/mm] spielt!
Bemerkung:
Es sei angemerkt, dass bei mir oben $0 [mm] \notin \IN\,,$ [/mm] also [mm] $\IN=\{1,2,3,\ldots\}$ [/mm] gilt!
P.S.
Weiter folgt dann alles aus
[mm] $$g^n=(g^{ord()})^\frac{n}{ord()}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 08.05.2012 | | Autor: | hubbel |
Hi, danke euch für die schnellen Antworten!
Bin noch ziemlich grün hinter den Ohren, vorallem, was dieses Thema angeht. Beweist man dort ähnlich wie bei Gruppen, sprich mit den Axiomen oder muss ich da noch etwas "neues" einbeziehen? Bin momentan noch auf dem Stand von Untergruppen, Gruppen und Gruppenaxiome, sprich die Beweise, wo man beispielsweise auf beiden Seiten mit dem Inversen verknüpft bzw. Klammern umsetzt oder mit dem neutralen Element hantiert. Steht sowas hier wieder im Vordergrund? Weil kann mir gerade noch nicht vorstellen, wie ich da rangehen muss, was sich hoffentlich dadurch ändert, dass ich morgen früh mein Skript durcharbeite.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, danke euch für die schnellen Antworten!
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> Bin noch ziemlich grün hinter den Ohren, vorallem, was
> dieses Thema angeht. Beweist man dort ähnlich wie bei
> Gruppen, sprich mit den Axiomen oder muss ich da noch etwas
> "neues" einbeziehen? Bin momentan noch auf dem Stand von
> Untergruppen, Gruppen und Gruppenaxiome, sprich die
> Beweise, wo man beispielsweise auf beiden Seiten mit dem
> Inversen verknüpft bzw. Klammern umsetzt oder mit dem
> neutralen Element hantiert. Steht sowas hier wieder im
> Vordergrund? Weil kann mir gerade noch nicht vorstellen,
> wie ich da rangehen muss, was sich hoffentlich dadurch
> ändert, dass ich morgen früh mein Skript durcharbeite.
die für Dich/Euch geschickteste Vorgehensweise kann ich schwer erraten, da ich nicht Euer Skript habe.
Es kann durchaus hier auch vernünftig sein, mit der Links-/Rechtsmultiplikation zu arbeiten oder wie auch immer. Das, was ich vorgeschlagen habe, habe ich mit meinem (nicht aus einer Vorlesung, sondern aus einem Buch selbstständig) erarbeiteten Wissen so zusammengebastelt: Das Buch ist "Algebra (Meyberg und Karpfinger)".
Ich denke, wenn man im Wesentlichen dort die Sachen bis zum Darstellungssatz verstanden hat, kann man die obige Aussage so beweisen (meinetwegen danach auch noch Lagrange anwenden, oder man ahmt halt so manches einfach selbst nach bzw. argumentiert analog).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 08.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Hi, danke euch für die schnellen Antworten!
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> Bin noch ziemlich grün hinter den Ohren, vorallem, was
> dieses Thema angeht. Beweist man dort ähnlich wie bei
> Gruppen, sprich mit den Axiomen oder muss ich da noch etwas
> "neues" einbeziehen? Bin momentan noch auf dem Stand von
> Untergruppen, Gruppen und Gruppenaxiome, sprich die
> Beweise, wo man beispielsweise auf beiden Seiten mit dem
> Inversen verknüpft bzw. Klammern umsetzt oder mit dem
> neutralen Element hantiert. Steht sowas hier wieder im
> Vordergrund? Weil kann mir gerade noch nicht vorstellen,
> wie ich da rangehen muss, was sich hoffentlich dadurch
> ändert, dass ich morgen früh mein Skript durcharbeite.
Du hantierst bei meiner Version mit dem neutralen Element:
Sei k = q [mm] ord_{G}(a) [/mm] +r mit q [mm] \in \IZ [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] r < [mm] ord_{G}(a). [/mm] Dann gilt:
[mm] a^{r}=a^{k-q*ord_{G}(a)} = a^{k}(a^{ord_{G}(a)})^{-q} = e*e^{-q} = e [/mm]. Wegen der Def. von [mm] ord_{G}(a) [/mm] folgt r = 0 und somit [mm] k=q*ord_{G}(a).
[/mm]
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 09.05.2012 | | Autor: | hubbel |
Hat sich geklärt, danke euch!
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