Ordnung einer Gruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Rubix |
| Aufgabe | (a) Seien [mm] G_{1}, G_{2} [/mm] Gruppen, [mm] G=G_{1} \times G_{2} [/mm] und g= [mm] (g_{1}, g{2})\in [/mm] G. Zeigen Sie:
[mm] ord_{G}(g)=kgV(ord_{G_{1}}(g_{1}),ord_{G_{2}}(g_{2}))
[/mm]
(b) Sei m=p*g mit p=11, q=17. Bestimmen Sie:
[mm] \psi(d)=|\{a\in \IZ/m\IZ : ord_{m}(a)=d\}| [/mm] |
Hallo,
Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst und stecke nun bei Teil b) fest.
Was ich bereits herausgefunden habe:
-Man kann [mm] a^d \equiv [/mm] 1 (mod 11*17) mithilfe des Chinesischen Restsatzes in ein äquivalentes anderes System überführen.
-Nach Aufgabenteil a) weiß ich, dass die Ordnung dann in diesem Fall ein Vielfaches zweier Zahlen sein muss, weswegen [mm] \psi(p)=0 [/mm] für alle Primzahlen p gilt.
-80 ist ein Vielfaches von [mm] \phi(17) [/mm] und [mm] \phi(11). [/mm] Deshalb sollte [mm] \psi(d)=0 [/mm] für alle d>80 sein.
Ich hoffe das war soweit korrekt. Ich kann doch jetzt aber nicht alle Zahlen <=80 durchprobieren die keine Primzahlen sind. Hoffe jemand kann mir helfen das Ganze etwas systematischer zu lösen.
Gruß Rubix
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Hallo Rubix,
du kannst hier die a) sehr systematisch ausnutzen.
Wie du bereits angedeutet hast gilt mit dem chin. Restsatz:
[mm] $(\mathbb [/mm] Z/187 [mm] \mathbb Z)^\* \cong (\mathbb Z/11\mathbb Z)^\*\times (\mathbb [/mm] Z/17 [mm] \mathbb Z)^\*$
[/mm]
Betrachte rechts jeweils die Anzahl der Elemente bestimmter Ordnung.
Es hilft dabei der Satz von Lagrange und die Tatsache, dass die Gruppen zyklisch sind.
Wende darauf a) an.
>
> Was ich bereits herausgefunden habe:
> -Man kann [mm]a^d \equiv[/mm] 1 (mod 11*17) mithilfe des
> Chinesischen Restsatzes in ein äquivalentes anderes System
> überführen.
Richtig.
> -Nach Aufgabenteil a) weiß ich, dass die Ordnung dann in
> diesem Fall ein Vielfaches zweier Zahlen sein muss,
> weswegen [mm]\psi(p)=0[/mm] für alle Primzahlen p gilt.
Nein, z.B kgV(p,1)=1
> -80 ist ein Vielfaches von [mm]\phi(17)[/mm] und [mm]\phi(11).[/mm] Deshalb
> sollte [mm]\psi(d)=0[/mm] für alle d>80 sein.
Richtig.
>
> Ich hoffe das war soweit korrekt. Ich kann doch jetzt aber
> nicht alle Zahlen <=80 durchprobieren die keine Primzahlen
> sind. Hoffe jemand kann mir helfen das Ganze etwas
> systematischer zu lösen.
>
> Gruß Rubix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Rubix |
Hallo sometree,
Vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir sehr.
Wenn ich jetzt mein modifiziertes System betrachte, dann weiß ich dass als Ordnung jeweils nur die Teiler von [mm] \phi(17) [/mm] bzw. [mm] \phi(11) [/mm] in Frage kommen. Außerdem, gilt da G zyklisch ist für alle diese Teiler d jeweils: [mm] \psi(d)=\phi(d).
[/mm]
Hier hört mein Wissen allerdings schon wieder auf. Mir ist jetzt nach längerem Überlegen keine andere Möglichkeit eingefallen als für jede der 187 Zahlen, jeweils erst die Ordnung bzgl. [mm] (\IZ/17 \IZ)* [/mm] dann die Ordnung bzgl. [mm] (\IZ/11 \IZ)* [/mm] zu berechnen, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen zu finden und dann einfach stumpf am Ende abzuzählen.
Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben wie man es richtig macht?
Gruß Rubix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Sa 01.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir sehr.
>
> Wenn ich jetzt mein modifiziertes System betrachte, dann
> weiß ich dass als Ordnung jeweils nur die Teiler von
> [mm]\phi(17)[/mm] bzw. [mm]\phi(11)[/mm] in Frage kommen. Außerdem, gilt da
> G zyklisch ist für alle diese Teiler d jeweils:
> [mm]\psi(d)=\phi(d).[/mm]
hier ist [mm] $\psi$ [/mm] eine andere Funktion als die aus der Aufgabenstellung, oder? Meinst du mit [mm] $\psi(d)$ [/mm] hier die Anzahl der Elemente in [mm] $(\IZ/17\IZ)^\ast$ [/mm] bzw. [mm] $(\IZ/11\IZ)^\ast$, [/mm] die Ordnung $d$ haben, wenn $d$ ein Teiler von [mm] $\psi(17)$ [/mm] bzw. [mm] $\psi(11)$ [/mm] ist?
> Hier hört mein Wissen allerdings schon wieder auf.
Das Wissen reicht schon voellig aus, um die Aufgabe elegant zu loesen.
> Mir ist
> jetzt nach längerem Überlegen keine andere Möglichkeit
> eingefallen als für jede der 187 Zahlen, jeweils erst die
> Ordnung bzgl. [mm](\IZ/17 \IZ)*[/mm] dann die Ordnung bzgl. [mm](\IZ/11 \IZ)*[/mm]
> zu berechnen, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der
> Ordnungen zu finden und dann einfach stumpf am Ende
> abzuzählen.
Das ist keine gute Loesung.
> Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben wie man
> es richtig macht?
Wenn du wissen willst wieviele Elemente $g = [mm] (g_1, g_2) \in (\IZ/17\IZ)^\ast \times (\IZ/11\IZ)^\ast$ [/mm] es gibt mit Ordnung $d$, dann muessen doch [mm] $ord(g_1), ord(g_2)$ $ggT(ord(g_1), ord(g_2)) [/mm] = d$ erfuellen. Finde heraus, welche gueltigen Paare [mm] $(ord(g_1), ord(g_2))$ [/mm] dies erfuellen, und dann kannst du jeweils nachzaehlen wieviele [mm] $(g_1, g_2)$ [/mm] es gibt mit diesem [mm] $(ord(g_1), ord(g_2))$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Rubix |
Hallo,
> Moin,
>
> > Vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir sehr.
> >
> > Wenn ich jetzt mein modifiziertes System betrachte, dann
> > weiß ich dass als Ordnung jeweils nur die Teiler von
> > [mm]\phi(17)[/mm] bzw. [mm]\phi(11)[/mm] in Frage kommen. Außerdem, gilt da
> > G zyklisch ist für alle diese Teiler d jeweils:
> > [mm]\psi(d)=\phi(d).[/mm]
>
> hier ist [mm]\psi[/mm] eine andere Funktion als die aus der
> Aufgabenstellung, oder? Meinst du mit [mm]\psi(d)[/mm] hier die
> Anzahl der Elemente in [mm](\IZ/17\IZ)^\ast[/mm] bzw.
> [mm](\IZ/11\IZ)^\ast[/mm], die Ordnung [mm]d[/mm] haben, wenn [mm]d[/mm] ein Teiler
> von [mm]\psi(17)[/mm] bzw. [mm]\psi(11)[/mm] ist?
Ja Entschuldigung. Die von dir beschriebene Funktion war gemeint.
>
> > Hier hört mein Wissen allerdings schon wieder auf.
>
> Das Wissen reicht schon voellig aus, um die Aufgabe elegant
> zu loesen.
>
> > Mir ist
> > jetzt nach längerem Überlegen keine andere Möglichkeit
> > eingefallen als für jede der 187 Zahlen, jeweils erst die
> > Ordnung bzgl. [mm](\IZ/17 \IZ)*[/mm] dann die Ordnung bzgl. [mm](\IZ/11 \IZ)*[/mm]
> > zu berechnen, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der
> > Ordnungen zu finden und dann einfach stumpf am Ende
> > abzuzählen.
>
> Das ist keine gute Loesung.
>
> > Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben wie man
> > es richtig macht?
>
Hierzu habe ich noch zwei Fragen:
> Wenn du wissen willst wieviele Elemente [mm]g = (g_1, g_2) \in (\IZ/17\IZ)^\ast \times (\IZ/11\IZ)^\ast[/mm]
> es gibt mit Ordnung [mm]d[/mm], dann muessen doch [mm]ord(g_1), ord(g_2)[/mm]
> [mm]ggT(ord(g_1), ord(g_2)) = d[/mm] erfuellen. Finde heraus, welche
Soll hier [mm] \bruch{ord(g_1)* ord(g_2)}{ggT(ord(g_1), ord(g_2))}=d [/mm] stehen? Denn das wäre ja gleich dem [mm] kgV(ord(g_1), ord(g_2))
[/mm]
> gueltigen Paare [mm](ord(g_1), ord(g_2))[/mm] dies erfuellen, und
> dann kannst du jeweils nachzaehlen wieviele [mm](g_1, g_2)[/mm] es
> gibt mit diesem [mm](ord(g_1), ord(g_2))[/mm].
"Gültiges Paar" heißt doch in dem Fall auch, dass gilt [mm] g_{1}=g_{2} [/mm] in
[mm] (\IZ/17*11\IZ)^\ast, [/mm] oder?
>
> LG Felix
>
LG Rubix
Und noch eine Frage: Ich soll mir aber schon immer ein konkretes d vorgeben und zu diesem dann Paare suchen? Es geht nicht eine allgemeine Formel für die Anzahl anzugeben? Dann müsste ich das ja aber eigentlich auch für alle d bis zumindestens 80 tun.
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Hallo Rubix,
> Hallo,
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> > Moin,
> >
> > > Vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir sehr.
> > >
> > > Wenn ich jetzt mein modifiziertes System betrachte, dann
> > > weiß ich dass als Ordnung jeweils nur die Teiler von
> > > [mm]\phi(17)[/mm] bzw. [mm]\phi(11)[/mm] in Frage kommen. Außerdem, gilt da
> > > G zyklisch ist für alle diese Teiler d jeweils:
> > > [mm]\psi(d)=\phi(d).[/mm]
> >
> > hier ist [mm]\psi[/mm] eine andere Funktion als die aus der
> > Aufgabenstellung, oder? Meinst du mit [mm]\psi(d)[/mm] hier die
> > Anzahl der Elemente in [mm](\IZ/17\IZ)^\ast[/mm] bzw.
> > [mm](\IZ/11\IZ)^\ast[/mm], die Ordnung [mm]d[/mm] haben, wenn [mm]d[/mm] ein Teiler
> > von [mm]\psi(17)[/mm] bzw. [mm]\psi(11)[/mm] ist?
>
> Ja Entschuldigung. Die von dir beschriebene Funktion war
> gemeint.
>
> >
> > > Hier hört mein Wissen allerdings schon wieder auf.
> >
> > Das Wissen reicht schon voellig aus, um die Aufgabe elegant
> > zu loesen.
> >
> > > Mir ist
> > > jetzt nach längerem Überlegen keine andere Möglichkeit
> > > eingefallen als für jede der 187 Zahlen, jeweils erst die
> > > Ordnung bzgl. [mm](\IZ/17 \IZ)*[/mm] dann die Ordnung bzgl. [mm](\IZ/11 \IZ)*[/mm]
> > > zu berechnen, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der
> > > Ordnungen zu finden und dann einfach stumpf am Ende
> > > abzuzählen.
> >
> > Das ist keine gute Loesung.
> >
> > > Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben wie man
> > > es richtig macht?
> >
>
> Hierzu habe ich noch zwei Fragen:
>
> > Wenn du wissen willst wieviele Elemente [mm]g = (g_1, g_2) \in (\IZ/17\IZ)^\ast \times (\IZ/11\IZ)^\ast[/mm]
> > es gibt mit Ordnung [mm]d[/mm], dann muessen doch [mm]ord(g_1), ord(g_2)[/mm]
> > [mm]ggT(ord(g_1), ord(g_2)) = d[/mm] erfuellen. Finde heraus, welche
>
> Soll hier [mm]\bruch{ord(g_1)* ord(g_2)}{ggT(ord(g_1), ord(g_2))}=d[/mm]
> stehen? Denn das wäre ja gleich dem [mm]kgV(ord(g_1), ord(g_2))[/mm]
Vermutlich soll da kgV statt ggT stehen.
> > gueltigen Paare [mm](ord(g_1), ord(g_2))[/mm] dies erfuellen, und
> > dann kannst du jeweils nachzaehlen wieviele [mm](g_1, g_2)[/mm] es
> > gibt mit diesem [mm](ord(g_1), ord(g_2))[/mm].
>
> "Gültiges Paar" heißt doch in dem Fall auch, dass gilt
> [mm]g_{1}=g_{2}[/mm] in
> [mm](\IZ/17*11\IZ)^\ast,[/mm] oder?
Nein, da [mm] $g_1,g_2$ [/mm] keine Elemente von [mm] $\mathbb [/mm] Z/187 [mm] \mathbb [/mm] Z$
sind.
>
> >
> > LG Felix
> >
> LG Rubix
>
> Und noch eine Frage: Ich soll mir aber schon immer ein
> konkretes d vorgeben und zu diesem dann Paare suchen? Es
> geht nicht eine allgemeine Formel für die Anzahl
> anzugeben? Dann müsste ich das ja aber eigentlich auch
> für alle d bis zumindestens 80 tun.
Nein du musst nicht alle d betrachten. Nach dem bereits erwähnten Satz von Lagrange fallen sehr viele Möglichkeiten bereits weg.
Ich mach hier mal ein Bsp.:
Sei p=3, q=5
In [mm] $\mathbb( Z/3\mathbb [/mm] Z)^*$ gibt es zwei Elememente, eines mit Ordnung 1, eines mit ordnung 2.
In [mm] $\mathbb (Z/5\mathbb [/mm] Z)^*$ gibt es 4 Elememente, eines mit Ordnung 1, eines mit ordnung 2, 2 mit Ordnung 4.
3 ist nach Lagrange keine mögliche Ordnung.
nach a) sind die möglichen Ordnungen in [mm] $\mathbb [/mm] Z / [mm] 15\mathbb [/mm] Z$
1,2,4.
Eines der Ordnung 1, die mit Ordnung zwei sind alle [mm] $(g_1,g_2)$ [/mm] wobei eines der [mm] $g_i$ [/mm] Ordnung 2 hat, das Andere 1 oder 2; das sind 3.
Der Rest hat Ordnung 4, das sind 4 Stück: [mm] $g_2$ [/mm] muss Ordnung 4 haben, die Ordnung von [mm] $g_1$ [/mm] ist hier beliebig.
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