Ordnung eines Körpers + Sylow < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe
Sei G die Gruppe der invertierbaren n x n Matrizen über dem Körper [mm] \IF_{3}=\IZ_{3}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Ordnung von G
b) Geben Sie eine 3-Sylowgruppe an.
Lösungsansätze bzw Fragen
a) Ist es so, dass die Ordnung eines Körpers, der Ordnung einer additiven Gruppen entspricht?
Dann würde ich hier sagen, dass die Ordnung von G 6 ist, also einfach n!.
b) Vorausgesetzt a) stimmt: ord(G) = 2 [mm] \* [/mm] 3
gesucht ist ja nur die 3-Sylowgruppe, nach dem 3. Sylowsatz [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt genau eine 3-Sylowgruppe, die Ordnung ist 3.
Aber wie konsturiere ich eine solche Gruppe? Ist das einfach [mm] K=\{-1, 0, 1\} [/mm] ??
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 So 26.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
> Aufgabe
> Sei G die Gruppe der invertierbaren n x n Matrizen über
> dem Körper [mm]\IF_{3}=\IZ_{3}.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Ordnung von G
> b) Geben Sie eine 3-Sylowgruppe an.
>
>
> Lösungsansätze bzw Fragen
>
> a) Ist es so, dass die Ordnung eines Körpers, der Ordnung
> einer additiven Gruppen entspricht?
Ja.
> Dann würde ich hier sagen, dass die Ordnung von G 6 ist,
> also einfach n!.
Nein. Die invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen entsprechen nicht den Permutationen einer $n$-elementigen Menge! Sie enthalten die Permutationen sozusagen als Untergruppe, aber es gibt noch wesentlich mehr invertierbare Matrizen!
> b) Vorausgesetzt a) stimmt: ord(G) = 2 [mm]\*[/mm] 3
>
> gesucht ist ja nur die 3-Sylowgruppe, nach dem 3. Sylowsatz
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt genau eine 3-Sylowgruppe, die Ordnung
> ist 3.
>
> Aber wie konsturiere ich eine solche Gruppe? Ist das
> einfach [mm]K=\{-1, 0, 1\}[/mm] ??
Was soll $K$ denn sein? Eine Teilmenge von [mm] $\IF_3$? [/mm] Gesucht ist eine Teilmenge von $G$, also eine Menge von invertierbaren $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen ueber [mm] $\IF_3$! [/mm] (Das ist uebrigens eine Gruppe bzgl. der Multiplikation.)
Aber bevor du weitermachen kannst, musst du erstmal (a) loesen. Das ist uebrigens eine Lineare-Algebra-Frage: Wieviele Wahlen hast du fuer die erste Spalte der Matrix? Und wenn du die erste Spalte fixierst, wieviele Wahlen hast du fuer die zweite Spalte? Und wenn du die ersten beiden Spalten fixierst, wieviele Wahlen hast du fuer die letzte Spalte?
LG Felix
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Also gut, dann muss ich zuerst a) lösen, aber ich weiß nicht so recht wie...
Hab zwischenzeitlich folgendes gelesen: [mm] ord(K)\in \IN \Rightarrow ord(K)=p^{n} [/mm] mit [mm] p\in \IP [/mm] und [mm] n\in \IN.
[/mm]
Aber kann ich damit überhaupt irgendwas anfangen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 26.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Also gut, dann muss ich zuerst a) lösen, aber ich weiß
> nicht so recht wie...
Es gab doch einen Tip! Verfolge den doch mal ...
> Hab zwischenzeitlich folgendes gelesen: [mm]ord(K)\in \IN \Rightarrow ord(K)=p^{n}[/mm]
> mit [mm]p\in \IP[/mm] und [mm]n\in \IN.[/mm]
Ordnung eines multilikatiben Elements oder wie? Ich weiß ja nicht, auf was du hinauswillst, wir suchen aber die Ordnung einer Gruppe - und nicht eines Elements ...
SEcki
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Hab mir Gedanken zur Wahl der einzelnen Spaltenvektoren gemacht und bin darauf gekommen:
[mm] ord(G)=\summe_{i=0}^{n+1}(3^{n}-3^{i})
[/mm]
Stimmt das so?
Wie gehe ich nun b) an? Könntet ihr mir bitte nochmal einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mi 29.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hab mir Gedanken zur Wahl der einzelnen Spaltenvektoren
> gemacht und bin darauf gekommen:
>
> [mm]ord(G)=\summe_{i=0}^{n+1}(3^{n}-3^{i})[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein. Du musst das Produkt nehmen und nicht die Summe. Und auch nur bis $n - 1$.
> Wie gehe ich nun b) an? Könntet ihr mir bitte nochmal einen
> Tipp geben?
Berechne doch erstmal die hoechste Potenz von $3$, die $ord(G)$ teilt. So viele Elemente muss dann deine Untergruppe haben. (Und andersherum, jede Untergruppe dieser Ordnung ist eine Sylow-Untergruppe.)
Jetzt schau dir doch mal obere Dreiecksmatrizen an. Wieviele Moeglichkeiten gibt es? Wenn du `passende' Bedingungen an die Diagonalelemente stellst, findest du eine passende Untergruppe.
LG Felix
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