Ordnung von G und 2G < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:51 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Voraussetzung:
[mm] $\left(G,+\right)$ [/mm] abelsche Gruppe, [mm] $2G:=\{2g\mid g\in G\}$ [/mm] (mit $2g=g+g$) die Menge der Zweifachen in $G$.
Zeige:
(i) : $G$ endlich, [mm] $\left|G\right|$ [/mm] ungerade [mm] $\quad\Longrightarrow\quad [/mm] 2G=G$
(ii): $G$ zyklisch, [mm] $\left|G\right|$ [/mm] gerade [mm] $\quad\Longrightarrow\quad \left|2G\right|=\bruch{1}{2}\left|G\right|$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich komme (vermutlich bei einer sehr leichten) Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass mir jemand von euch helfen kann.
ICh habe Hinweise, die mich allerding nicht weiterbringen:
zu(i): [mm] $\forall\,g\in G\;\exists\,g'\in G:\;\; [/mm] g=g'+g'$
zu(ii): Gibt es Erzeuger von $2G$? Welche? Wie sehen sie aus?
Hoffe, dass jemand ein Rat weiß.
Ich danke euch für eure Unterstützung
Ciao Denny
P.S.: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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Hallo Denny,
zu (ii) kannst du dir folgendes überlegen: Da $G$ zyklisch ist, gibt es ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit [mm] $\langle g\rangle [/mm] =G$. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm] $2G=\langle 2g\rangle$ [/mm] und [mm] $|\langle 2g\rangle|=\bruch [/mm] 12|G|$.
Kommst du damit voran?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Jupp, danke hat mir geholfen. Fällt dir zu (i) noch etwas ein?
Danke schon einmal
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Sa 09.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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