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a)Geben Sie in [tex]S_{12}[/tex] eine Permutation der Ordnung 60 und eine der Ordnung 21 an.
b)Bestimmen Sie ein Element maximaler Ordnung in [tex]S_{13}[/tex].
[mm] (S_n [/mm] = Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht = Symmetrische Gruppe mit n Elementen)
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Gibt es überhaupt Permutationen einer höheren Ordnung als 35 in [tex]S_{12}[/tex] ?
Für die Permutation der Ordnung 21 kann man zwei disjunkte Zykel [tex] z1, z2 \in S_{12}[/tex], mit 7 und 3 Elementen (als Produkt (Komposition) [tex]z1 z2 = z1 \circ z2 [/tex] ), als Antwort geben.
Es gilt nämlich:
Satz1: Jeder k-Zykel (Zykel mit k Elementen) in [mm] S_n [/mm] hat die Ordnung k.
Satz2: Es seien [tex] z_1, ... z_n \in S_n [/tex] disjunkte Zykel. Dann gilt [tex]ord(z_1 \circ \dots zn)=kgV(ord(z_1),...ord(z_n)[/tex])
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Di 08.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a)Geben Sie in [tex]S_{12}[/tex] eine Permutation der Ordnung 60 und
> eine der Ordnung 21 an.
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> b)Bestimmen Sie ein Element maximaler Ordnung in [tex]S_{13}[/tex].
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> [mm](S_n[/mm] = Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen)
> einer n-elementigen Menge besteht = Symmetrische Gruppe mit
> n Elementen)
>
>
> Gibt es überhaupt Permutationen einer höheren Ordnung als
> 35 in [tex]S_{12}[/tex] ?
Ich denke schon, was ist denn mit (1 2 3)(4 5 6 7)(8 9 10 11 12)?
> Für die Permutation der Ordnung 21 kann man zwei disjunkte
> Zykel [tex]z1, z2 \in S_{12}[/tex], mit 7 und 3 Elementen (als Produkt
> (Komposition) [tex]z1 z2 = z1 \circ z2[/tex] ), als Antwort geben.
>
> Es gilt nämlich:
> Satz1: Jeder k-Zykel (Zykel mit k Elementen) in [mm]S_n[/mm] hat
> die Ordnung k.
> Satz2: Es seien [tex]z_1, ... z_n \in S_n[/tex] disjunkte Zykel. Dann
> gilt [tex]ord(z_1 \circ \dots zn)=kgV(ord(z_1),...ord(z_n)[/tex])
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mi 06.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > a)Geben Sie in [tex]S_{12}[/tex] eine Permutation der Ordnung 60 und
> > eine der Ordnung 21 an.
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> > b)Bestimmen Sie ein Element maximaler Ordnung in [tex]S_{13}[/tex].
> >
> > [mm](S_n[/mm] = Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen)
> > einer n-elementigen Menge besteht = Symmetrische Gruppe mit
> > n Elementen)
> >
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> > Gibt es überhaupt Permutationen einer höheren Ordnung als
> > 35 in [tex]S_{12}[/tex] ?
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> Ich denke schon, was ist denn mit (1 2 3)(4 5 6 7)(8 9 10
> 11 12)?
Das ist ein Element maximaler Ordnung in [mm] $S_{12}$.
[/mm]
Um das Problem allgemein moeglichst effektiv zu loesen, ueberlegt man sich erstmal, dass wenn man einen Zykel der Laenge $a [mm] \cdot [/mm] b$ hat mit $a, b$ teilerfremd, dann kann man einen Zykel der Laene $a$ und einen der Laenge $b$ nehmen; die Ordnung ist dieselbe, aber man braucht weniger der $12$ (oder $13$) Stellen.
Also schreibt man alle Primzahlpotenzen auf, die [mm] $\le [/mm] 12$ sind (hier: 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11) und schaut alle Kombinationen davon an, deren Summe [mm] $\le [/mm] 12$ ist (und die nicht zwei Potenzen der gleichen Primzahl enthalten); von den Produkt dieser nimmt man dann das Maximum.
Z.B. kann man die Kombination $2, 3, 5$ nehmen; es ist $2 + 3 + 5 = 10 [mm] \le [/mm] 12$ und $2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 5 = 60$.
Oder man nimmt $5, 7$; es ist $5 + 7 = 12$ und $5 [mm] \cdot [/mm] 7 = 35$.
Die Kombinationen $2, 3, 4$ und $9, 11$ sind z.B. nicht erlaubt: bei $2, 3, 4$ hat man zweimal die gleihce Primzahl (naemlich $2$) und bei $9, 11$ ist $9 + 11 > 12$.
Wenn man alles durchgeht, dann sieht man, dass man niemals ueber 60 kommt.
LG Felix
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