Ordnungen und Nebenklassen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 23.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Die Einheiten des Rings [mm] \IZ_{40} [/mm] bilden mit der Multiplikation modulo 40 eine Gruppe G.
a) Welche Ordnungen sind für die Untergruppen von G möglich?
c) Bestimmen Sie die Nebenklasse, die die Zahl 3 enthält. |
Hallo,
die Ordnung der Gruppe G ist |G|=16 also würde ich mal blind raten die Ordnungen der Untergruppen können nur [mm] \le [/mm] 16 sein und sind Teiler von 16 also 8,4,2,1. Oder muss ich das genauer bestimmen ?
für c)
Muss ich da die Untergruppe von 3 erzeugen und die Elemente von <3> sind dann die Nebenklassen ? Also hier 3,9,27,1.
danke im voraus,
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 So 23.02.2014 | | Autor: | hippias |
> Die Einheiten des Rings [mm]\IZ_{40}[/mm] bilden mit der
> Multiplikation modulo 40 eine Gruppe G.
> a) Welche Ordnungen sind für die Untergruppen von G
> möglich?
> c) Bestimmen Sie die Nebenklasse, die die Zahl 3
> enthält.
> Hallo,
> die Ordnung der Gruppe G ist |G|=16
Richtig.
> also würde ich mal
> blind raten die Ordnungen der Untergruppen können nur [mm]\le[/mm]
> 16 sein und sind Teiler von 16 also 8,4,2,1.
Die Liste ist trivialerweise nicht ganz vollstaendig.
> Oder muss ich
> das genauer bestimmen ?
Davon gehe ich aus.
>
> für c)
> Muss ich da die Untergruppe von 3 erzeugen und die
> Elemente von <3> sind dann die Nebenklassen ? Also hier
> 3,9,27,1.
Ich vermute, dass die Aufgabenstellung unvollstaendig ist, denn eine Nebenklasse wird bezueglich einer Untergruppe gebildet und wenn diese nicht gegeben ist, kann man auch keine Nebenklasse angeben. Eventuell sollst Du die Nebenklasse von $3$ fuer alle moeglichen Untergruppen angeben.
>
> danke im voraus,
> andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 23.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
Tatsache, in Bezug auf die von der Einheit 7 erzeugte Untergruppe. Also wäre es wahrscheinlich nur die Einheit 9. Da diese ja in <7> und in <3> ist.
Zu den möglichen Ordnungen der Untergruppe:
Da habe ich wohl noch die 16 selbst vergessen. Aber wie soll ich das noch genauer angeben ?
danke für deine Antwort.
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mo 24.02.2014 | | Autor: | hippias |
> Tatsache, in Bezug auf die von der Einheit 7 erzeugte
> Untergruppe. Also wäre es wahrscheinlich nur die Einheit
> 9. Da diese ja in <7> und in <3> ist.
Nein. Schlag' nocheinmal nach, was eine Nebenklasse von $U$ in $G$ ist.
>
> Zu den möglichen Ordnungen der Untergruppe:
> Da habe ich wohl noch die 16 selbst vergessen.
Genau.
> Aber wie
> soll ich das noch genauer angeben ?
Es bleibt die Frage offen, fuer welche Zahlen es aus Deiner Liste tatsaechlich eine Untergruppe gibt, die diese Ordnung hat. Da hilft wohl nur herumprobieren. Wenn mich nicht alles taeuscht, hast Du aber bereits zu jeder Zahl ausser der $8$ eine passende Untergruppe gefunden. Du koenntest weitere zyklische Untergruppen bilden, dann von $2$ Elementen erzeugte Untergruppen betrachten usw. oder versuchen zu ueberlegen, weshalb $G$ keine Untergruppe der Ordnung $8$ besitzt.
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> danke für deine Antwort.
> Andreas
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