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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo wir haben folgenden Ausdruck, der Körper- sowie Ordnungsaxiome verbindet (es gilt die lineare Ordnung) bewiesen:
Leider hab ich da ein paar Schwierigkeiten:
zu beweisen:
1.)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K: (x>0 [mm] \Rightarrow [/mm] -x<0)
Jetzt haben wir das Ganze über einen Widerspruchsbeweis gelöst:
x !> 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -x=0 [mm] \vee [/mm] -x > 0
Wir haben also 2 Fälle zu unterscheiden:
1.Fall -x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = x + (-x) (Körperaxiom 5 inverses Element) > 0 + 0 = 0
Und 0 > 0 ist Blödsinn
Was ich aber nicht verstehe ist warum ich x + (-x) > 0 + 0 sagen darf. Wegen OK1 also x < y -> x+z < y+z?
Wenn dem so ist dann stimmt das Ganze aber nicht mit dem 2.Fall zusammen wo im Skript einfach dasteht dass der Fall genauso geht wie der
erste also 0>0...Widerspruch
Für 2.Fall:
0 = x + (-x) > 0 +(-x) -> 0>-x was stimmt? (glaub eher nicht)...-x kann man jetzt nicht einfach als 0 ansetzen da es > 0 ist.
anderer Beweis:
2.)
zu beweisen:
[mm] \forall \not= [/mm] 0: x² = x*x > 0 insbesondere 1>0
x > 0 -> (OK2) x²>0 ....klar
x<0 -> nach obigen Beweis (1.) ... (-x)>0
Nun folgt x*x = (Haben wir schon bewiesen) (-x)*(-x) > 0
Hier kapier ich bei x<0 gar nichts. Wozu brauch ich die Aussage -x>0 und warum darf ich einfach die Vorzeichen vertauschen?
Und -x ist ja nicht >0. Wie komme ich dann auf
x*x = (-x)*(-x) > 0...die Zeile ist mir zwar klar aber wie komme ich da drauf?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hannes!
> Hallo wir haben folgenden Ausdruck, der Körper- sowie
> Ordnungsaxiome verbindet (es gilt die lineare Ordnung)
> bewiesen:
>
> Leider hab ich da ein paar Schwierigkeiten:
> zu beweisen:
> 1.)
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] K: (x>0 [mm]\Rightarrow[/mm] -x<0)
>
> Jetzt haben wir das Ganze über einen Widerspruchsbeweis
> gelöst:
> x !> 0 [mm]\Rightarrow[/mm] -x=0 [mm]\vee[/mm] -x > 0
>
> Wir haben also 2 Fälle zu unterscheiden:
> 1.Fall -x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = x + (-x) (Körperaxiom 5
> inverses Element) > 0 + 0 = 0
>
> Und 0 > 0 ist Blödsinn
>
> Was ich aber nicht verstehe ist warum ich x + (-x) > 0 + 0
> sagen darf. Wegen OK1 also x < y -> x+z < y+z?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn dem so ist dann stimmt das Ganze aber nicht mit dem
> 2.Fall zusammen wo im Skript einfach dasteht dass der Fall
> genauso geht wie der
> erste also 0>0...Widerspruch
> Für 2.Fall:
>
> 0 = x + (-x) > 0 +(-x) -> 0>-x was stimmt? (glaub eher
> nicht)...-x kann man jetzt nicht einfach als 0 ansetzen da
> es > 0 ist.
Hier nutzt du die Regel [mm] $x_1>y_1, x_2 >y_2 \quad \Rightarrow \quad x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] > [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2$ [/mm] aus. Beachte, dass nach Voraussetzung $x>0$ gilt, und dass du in Fall 2 ja zudem $-x>0$ annimmst. Dies führt dann nach obiger Regel zu $x + (-x) > 0+0$, also zu $0>0$, Widerspruch.
Aber viel besser finde ich den Beweis, den du selber gegeben hast:
Aus $x>0$ folgt: $x+(-x) > 0 + (-x)$, also: $0>-x$.
Warum zeigt man es also nicht so direkt und stattdessen mit einem Widerspruchsbeweis? Das ist mir selber schleierhaft und erscheint mir in dem Skript umständlich zu sein...
> anderer Beweis:
> 2.)
> zu beweisen:
>
> [mm]\forall \not=[/mm] 0: x² = x*x > 0 insbesondere 1>0
>
> x > 0 -> (OK2) x²>0 ....klar
>
> x<0 -> nach obigen Beweis (1.) ... (-x)>0
>
> Nun folgt x*x = (Haben wir schon bewiesen) (-x)*(-x) > 0
>
> Hier kapier ich bei x<0 gar nichts. Wozu brauch ich die
> Aussage -x>0 und warum darf ich einfach die Vorzeichen
> vertauschen?
> Und -x ist ja nicht >0.
Doch, im Falle $x<0$ (und um den ging es hier ja) schon...
> Wie komme ich dann auf
> x*x = (-x)*(-x) > 0...die Zeile ist mir zwar klar aber wie
> komme ich da drauf?
$x [mm] \cdot [/mm] x = (-x) [mm] \cdot [/mm] (-x)$ habt ihr ja bewiesen, wie du schreibst. Im Falle $x<0$ ist aber (siehe oben) $-x>0$, und daher auch: $(-x) [mm] \cdot [/mm] (-x)>0$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 So 30.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die super Erklärung.
mfg,
Hannes
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