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Hallo,
ich habe mal eine Frage zu obiger Musterlösung. Normalerweise steht im Skript, dass wir den Ansatz [mm] y_{2}(x) [/mm] = [mm] u(x)*y_{1}(x) [/mm] machen sollen. In den Lösungen machen sie aber immer direkt den Ansatz y(x) = [mm] u(x)*y_{1}(x). [/mm] Woher kommt das? Normalerweise sind doch die gefunden Lösungen linear unabhängig und man muss sie erst aus y1 und y2 zusammensetzen oder . Hier in diesem Fall ist ja ein [mm] de^{x} [/mm] im Ergebnis, somit braucht man y1 nicht mehr, aber kann man das von vorne herein sagen?
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
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> Hallo,
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> ich habe mal eine Frage zu obiger Musterlösung.
> Normalerweise steht im Skript, dass wir den Ansatz [mm]y_{2}(x)[/mm]
> = [mm]u(x)*y_{1}(x)[/mm] machen sollen. In den Lösungen machen sie
> aber immer direkt den Ansatz y(x) = [mm]u(x)*y_{1}(x).[/mm] Woher
> kommt das? Normalerweise sind doch die gefunden Lösungen
> linear unabhängig und man muss sie erst aus y1 und y2
> zusammensetzen oder . Hier in diesem Fall ist ja ein [mm]de^{x}[/mm]
> im Ergebnis, somit braucht man y1 nicht mehr, aber kann man
> das von vorne herein sagen?
Bis zu der in a) angebenen allgemeinen Lösung für z läuft alles wie gehabt.
Der Unterschied liegt nun bei der Integration von z.
Im Fall des Ansatzes [mm]y_{2}\left(x\right)=u\left(x\right)*y_{1}\left(x\right)[/mm] läßt man die Konstante d weg
und erhält dann eine linear unabhängige Lösung.
Im Fall des Ansatzes [mm]y\left(x\right)=u\left(x\right)*y_{1}\left(x\right)[/mm] integriert man wie folgt:
[mm]\integral_{}^{}{z\left(x\right) \ dx}=F\left(x\right)+d=:u\left(x\right)[/mm]
Daraus erhält man nun die allgemeine Lösung der ursprünglichen DGL:
[mm]y\left(x\right)=\left( \ F\left(x\right) + d \ \right) * y_{1}\left(x\right)=F\left(x\right)*y_{1}\left(x\right)+d*y_{1}\left(x\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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