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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Ordnungsreduktion
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Ordnungsreduktion: Lösung durch Sehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Mi 04.03.2009
Autor: Marcel08

Aufgabe
Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, Ordnungsreduktion

Lösen Sie das Anfangswertproblem

[mm] (t-1)y^{||}-ty^{|}+y=0, [/mm] y(0)=1 und [mm] y^{|}(0)=\wurzel{2}. [/mm]

Hallo Matheraum,


zur Lösung dieser Aufgabe benötige ich den Produktansatz [mm] y(x)=y_{1}(x)*u(x). [/mm] In der Musterlösung steht, dass [mm] y_{1}(t)=e^{t} [/mm] ist.



Meine Frage:


Woher weiß man ohne Rechnung, dass [mm] y_{1}(t)=e^{t} [/mm] gilt?





Gruß, Marcel

        
Bezug
Ordnungsreduktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Mi 04.03.2009
Autor: Herby

Hallo Marcel,

> Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung,
> Ordnungsreduktion
>  
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
>
> [mm] $(t-1)y''-ty'+y=0\quad [/mm] y(0)=1\ und\ [mm] y'(0)=\wurzel{2}$ [/mm]

Multiplizieren wir die erste Klammer einmal aus:

$ty''-y''-ty'+y=0\ $

Sortieren:

$ty''-ty'+y-y''=0\ $

Wenn also jetzt y''=y'=y wäre, dann wäre auch die Gleichung erfüllt. Eine Funktion die das leistet ist halt [mm] y=e^t [/mm]


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                
Bezug
Ordnungsreduktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 04.03.2009
Autor: Marcel08

Hallo Herby!



Mit anderen Worten:


Wenn die Koeffizientensumme der Differentialgleichung 0 ist, so ist [mm] e^{x} [/mm] stets eine mögliche Lösung?





Gruß, Marcel

Bezug
                        
Bezug
Ordnungsreduktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mi 04.03.2009
Autor: Herby

Hallo Marcel,

ich habe bisher noch kein Gegenbeispiel gefunden, was nichts heißen mag :-)


Lg
Herby

Bezug
                                
Bezug
Ordnungsreduktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Mi 04.03.2009
Autor: Marcel08

Mh, klingt aber durchaus interessant. Vielen Dank jedenfalls.

Bezug
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