Ordnungsrelation auf IZ und IN < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Teilbarkeit auf [mm] \IZ [/mm] mit
a [mm] \sim [/mm] b [mm] :\gdw [/mm] a|b
eine Ordnungsrelation auf [mm] \IN [/mm] definiert.
Ist die Teilbarkeit auch eine Ordnungsrelation auf [mm] \IZ? [/mm] |
Zuerst: Definition Ordnungsrelation
... ist eine Relation auf M (hier auf [mm] \IZ), [/mm] die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
Dann: Definition von "Teilbarkeit": (an Aufgabe angewandt)
Sei b [mm] \in \IZ; [/mm] dann ist a [mm] \in \IN [/mm] und ist "Teiler" von b mit a|b, wenn gilt:
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: [/mm] b = k [mm] \* [/mm] a
An sich hatte ich mit dem "prüfen" nach Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität keine Probleme:
?reflexiv: für alle a [mm] \in \IN [/mm] : (a,a) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] a|a [mm] \Rightarrow [/mm] a = k [mm] \* [/mm] a, für k = 1. IST also reflexiv!
?antisymmetrisch: (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,a) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] a = b [mm] \Rightarrow [/mm] a|b und b|a [mm] \Rightarrow [/mm] b = k1 [mm] \* [/mm] a und a = k2 [mm] \* [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] (einsetzen) b = k1 [mm] \* [/mm] k2 [mm] \* [/mm] b, dies kann nur wahr sein für k1, k2 = 1, damit ist: a = b
Für den Sonderfall b = 0, ist 0 * k = a und nur für a = 0 = b lösbar. (und umgekehrt, jede Zahl teilt null, also a|0)
?transitiv: (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] R
Wegen a|b und b|c [mm] \Rightarrow [/mm] k1 [mm] \* [/mm] a = b und k2 [mm] \* [/mm] b = c [mm] \Rightarrow [/mm] (einsetzen) k2 [mm] \* [/mm] b = k2 [mm] \* [/mm] (k1 [mm] \* [/mm] a) = c [mm] \Rightarrow [/mm] a|c (da k1,k2 [mm] \in \IZ)
[/mm]
Soooo...
Nun habe ich aber nicht ganz verstanden, wie man beweisen kann, dass die Ordnungsrelation der Teilbarkeit auf [mm] \IN [/mm] definiert ist.
(und wie ist das dann analog zu [mm] \IZ [/mm] zu zeigen?)
Eine mögliche Erklärung wäre ja:
aus 1.) Reflexiv [mm] \Rightarrow [/mm] das Ergebnis von a|a ist immer [mm] \in \IN.
[/mm]
aus 2.) Antisymmetrisch [mm] \Rightarrow [/mm] a = b folgt immer, wenn sich die zahlen gegenseitig teilen, daher wieder (siehe Reflexiv) und wieder [mm] \in \IN.
[/mm]
aus 3.) Transitiv [mm] \Rightarrow [/mm] hier komme ich zu einem Wiederspruch... da b und c ja [mm] \in \IZ [/mm] sind.
Beispiel: a = 2, b = 4, c = -12
a|b : 2|4 = 2
b|c: 4|(-12) = -3
[mm] \Rightarrow [/mm] a|c : 2|(-12) = -6 [mm] \not\in \IN
[/mm]
(wir haben allerdings den tipp bekommen, dass die Teilbarkeitsrelation eben gerade auf [mm] \IN [/mm] definiert ist und NICHT auf [mm] \IZ...) [/mm] ... aber warum?
mfg, Dezt
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Teilbarkeit auf [mm]\IZ[/mm] mit
> a [mm]\sim[/mm] b [mm]:\gdw[/mm] a|b
> eine Ordnungsrelation auf [mm]\IN[/mm] definiert.
> Ist die Teilbarkeit auch eine Ordnungsrelation auf [mm]\IZ?[/mm]
> Zuerst: Definition Ordnungsrelation
> ... ist eine Relation auf M (hier auf [mm]\IZ),[/mm] die reflexiv,
> antisymmetrisch und transitiv ist.
>
> Dann: Definition von "Teilbarkeit": (an Aufgabe angewandt)
> Sei b [mm]\in \IZ;[/mm] dann ist a [mm]\in \IN[/mm] und ist "Teiler" von b
> mit a|b, wenn gilt:
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ:[/mm] b = k [mm]\*[/mm] a
>
>
> An sich hatte ich mit dem "prüfen" nach Reflexivität,
> Antisymmetrie, Transitivität keine Probleme:
>
> ?reflexiv: für alle a [mm]\in \IN[/mm] : (a,a) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm]
> a|a [mm]\Rightarrow[/mm] a = k [mm]\*[/mm] a, für k = 1. IST also
> reflexiv!
> ?antisymmetrisch: (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,a) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm]
> a = b [mm]\Rightarrow[/mm] a|b und b|a [mm]\Rightarrow[/mm] b = k1 [mm]\*[/mm] a und a
> = k2 [mm]\*[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] (einsetzen) b = k1 [mm]\*[/mm] k2 [mm]\*[/mm] b, dies
> kann nur wahr sein für k1, k2 = 1, damit ist: a = b
> Für den Sonderfall b = 0, ist 0 * k = a und nur für a =
> 0 = b lösbar. (und umgekehrt, jede Zahl teilt null, also
> a|0)
> ?transitiv: (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,c) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (a,c)
> [mm]\in[/mm] R
> Wegen a|b und b|c [mm]\Rightarrow[/mm] k1 [mm]\*[/mm] a = b und k2 [mm]\*[/mm] b = c
> [mm]\Rightarrow[/mm] (einsetzen) k2 [mm]\*[/mm] b = k2 [mm]\*[/mm] (k1 [mm]\*[/mm] a) = c
> [mm]\Rightarrow[/mm] a|c (da k1,k2 [mm]\in \IZ)[/mm]
>
Und das bedeutet gerade, dass die Relation a|b alle Eigenschaften hat, die sie zu einer Ordnungsrelation (die sich als eine Art "Hierarchie" verstehen lässt) auf [mm] \IN [/mm] machen.
Mehr ist zu diesem Teil der Aufgabe nicht zu tun.
Und was die Frage nach [mm] \IZ [/mm] angeht, solltest du prüfen, ob dann Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivitätimmer immer noch erfüllt sind.
> Soooo...
> Nun habe ich aber nicht ganz verstanden, wie man beweisen
> kann, dass die Ordnungsrelation der Teilbarkeit auf [mm]\IN[/mm]
> definiert ist.
> (und wie ist das dann analog zu [mm]\IZ[/mm] zu zeigen?)
>
> Eine mögliche Erklärung wäre ja:
> aus 1.) Reflexiv [mm]\Rightarrow[/mm] das Ergebnis von a|a ist
> immer [mm]\in \IN.[/mm]
> aus 2.) Antisymmetrisch [mm]\Rightarrow[/mm] a = b
> folgt immer, wenn sich die zahlen gegenseitig teilen, daher
> wieder (siehe Reflexiv) und wieder [mm]\in \IN.[/mm]
> aus 3.)
> Transitiv [mm]\Rightarrow[/mm] hier komme ich zu einem
> Wiederspruch... da b und c ja [mm]\in \IZ[/mm] sind.
> Beispiel: a = 2, b = 4, c = -12
> a|b : 2|4 = 2
> b|c: 4|(-12) = -3
> [mm]\Rightarrow[/mm] a|c : 2|(-12) = -6 [mm]\not\in \IN[/mm]
>
> (wir haben allerdings den tipp bekommen, dass die
> Teilbarkeitsrelation eben gerade auf [mm]\IN[/mm] definiert ist und
> NICHT auf [mm]\IZ...)[/mm] ... aber warum?
>
>
> mfg, Dezt
>
> P.S.:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 06.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
Also (soweit ich verstanden habe) ist es deshalb eine Ordnungsrelation auf [mm] \IN [/mm] , weil mein b immer aus [mm] \IN [/mm] ist.
Wenn mein b jetzt auch aus [mm] \IZ [/mm] wäre und es immer noch eine Ordnungsrelation wäre, so wäre dies auch für [mm] \IZ [/mm] gültig.
Dann prüfe ich also, ob es auch für [mm] \IZ [/mm] ginge:
(oder widerlege eben durch ein Gegenbeispiel)
Für die Ordnungsrelation müssen Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität gültig sein.
Gegenbeispiel: "Antisymmetrie"
Sei a = 2 und b = -2 (jetzt bewegen wir uns im [mm] \IZ [/mm] )
So sollte gelten:
a|b und b|a [mm] \Rightarrow [/mm] a = b
ABER
2|(-2) und (-2)|2 [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \not= [/mm] b !
Somit ist das keine Ordnungsrelation auf [mm] \IZ
[/mm]
(korrigiert mich bitte, wenn das falsch war)
und danke für die Hilfe!
mfg, Dezt
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> Also (soweit ich verstanden habe) ist es deshalb eine
> Ordnungsrelation auf [mm]\IN[/mm] , weil mein b immer aus [mm]\IN[/mm] ist.
>
> Wenn mein b jetzt auch aus [mm]\IZ[/mm] wäre und es immer noch eine
> Ordnungsrelation wäre, so wäre dies auch für [mm]\IZ[/mm]
> gültig.
>
> Dann prüfe ich also, ob es auch für [mm]\IZ[/mm] ginge:
> (oder widerlege eben durch ein Gegenbeispiel)
>
> Für die Ordnungsrelation müssen Reflexivität,
> Antisymmetrie und Transitivität gültig sein.
>
> Gegenbeispiel: "Antisymmetrie"
> Sei a = 2 und b = -2 (jetzt bewegen wir uns im [mm]\IZ[/mm] )
> So sollte gelten:
> a|b und b|a [mm]\Rightarrow[/mm] a = b
> ABER
> 2|(-2) und (-2)|2 [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\not=[/mm] b !
>
> Somit ist das keine Ordnungsrelation auf [mm]\IZ[/mm]
> (korrigiert mich bitte, wenn das falsch war)
>
> und danke für die Hilfe!
>
> mfg, Dezt
Du liegst mit deiner Überlegung richtig, daher definiert die Teilbarkeit keine Ordnungsrelation auf [mm] \IZ.
[/mm]
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