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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 12.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist die Relation
R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist.
(b) Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm von (M;R).
(c) Ist die Menge A = (-3;-2;-1; 0; 2; 4) beschränkt bzgl. der Ord-
nung R? Geben Sie eine nach oben beschränkte Menge B [mm] \subseteq [/mm] M mit genau 4 Elementen. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich das Problem, das ich nicht weiß wie man die reflexivität, antisymmetrie und transitivität mathematisch beweist.
Das es sich um eine Ordnungsrelation handeln muss, erkenne ich relativ schnell.
Des Weiteren sagt mir Aufgabenteil c überhaupt nichts. Selbst wenn ich das Hasse-Diagramm gemacht habe. Was wird an dieser Stelle verlangt?
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist die
> Relation
> R defniert durch
> aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
> (a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist.
> (b) Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm von (M;R).
> (c) Ist die Menge A = (-3;-2;-1; 0; 2; 4) beschränkt bzgl.
> der Ord-
> nung R? Geben Sie eine nach oben beschränkte Menge B
> [mm]\subseteq[/mm] M mit genau 4 Elementen.
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich das Problem, das ich nicht weiß
> wie man die reflexivität, antisymmetrie und transitivität
> mathematisch beweist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast hier also eine Menge M, und Deine Relation isfür [mm] a,b\in [/mm] M definiert durch
aRb <==> [mm] a-b\ge [/mm] 0 und a-b gerade.
Willst Du zeigen, daß jedes [mm] a\in [/mm] M zu sich selbst in Relation steht, so mußt Du die beiden Bedingungen prüfen:
- ist [mm] a-a\ge [/mm] 0 ?
- ist a-a gerade?
Wenn beides der fall ist, folgt aus der def., daß a in Relation zu sich selbst steht.
Für die Transitivität ist zu zeigen, daß für alle a,b,c [mm] \in [/mm] M aus
aRb und bRc folgt, daß aRc.
Die Voraussetzung ist also: aRb und bRc . Was bedeutet diese?
Zu zeigen ist: aRc. Was ist also zu zeigen?
Nun mußt Du schauen, wie Du die Behauptung aus der Voraussetzung bekommen kannst.
Ich hoffe, daß erstmal etwas klarer geworden ist, was für a) zu tun ist.
Versuch' Dich dran, poste bei Rückfragen mit, was Du bisher getan hast.
Gruß v. Angela
> Das es sich um eine Ordnungsrelation handeln muss, erkenne
> ich relativ schnell.
>
> Des Weiteren sagt mir Aufgabenteil c überhaupt nichts.
> Selbst wenn ich das Hasse-Diagramm gemacht habe. Was wird
> an dieser Stelle verlangt?
>
> Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
>
> Stefan
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist die
Relation R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist.
(b) Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm von (M;R).
(c) Ist die Menge A = (-3;-2;-1; 0; 2; 4) beschränkt bzgl.
der Ordnung R? Geben Sie eine nach oben beschränkte Menge B
$ [mm] \subseteq [/mm] $ M mit genau 4 Elementen. |
Hey Angela,
danke für Deine Hilfe.
Die Definition für die verschiedenen Relationseigenschaften bekomme ich hin.
Aber wie Du bereits sagtest, muss ich die Behauptung zeigen. Und hierbei scheitere ich.
Ich hätte Reflexiv so begründet:
a - a >= 0 [mm] \wedge [/mm] a-b = gerade
wenn ich die Formel a-a >=0 ausrechne, erhalte ich immer 0. Also ist Bedingung 1 immer erfüllt. Prüfen ob gerade: a-a=2x ergibt ebenfalls 0. Also ist Bedingung 2 ebenfalls wahr. Laut boolescher Algebra ist der Beweis 1 [mm] \wedge [/mm] 1 = W(reflexiv) richtig. Korrigiere mich wenn ich falsch liege.
Ich habe leider aber keine Ahnung wie ich transitivität und antisymmetrie(aRb [mm] \wedge [/mm] bRa [mm] \Rightarrow [/mm] a=b) beweisen soll.
Danke und Gruß
Stefan
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> Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
> die
> Relation R defniert durch
> aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
> (a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist.
> (b) Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm von (M;R).
> (c) Ist die Menge A = (-3;-2;-1; 0; 2; 4) beschränkt
> bzgl.
> der Ordnung R? Geben Sie eine nach oben beschränkte Menge
> B
> [mm]\subseteq[/mm] M mit genau 4 Elementen.
> Hey Angela,
>
> danke für Deine Hilfe.
> Die Definition für die verschiedenen
> Relationseigenschaften bekomme ich hin.
>
> Aber wie Du bereits sagtest, muss ich die Behauptung
> zeigen. Und hierbei scheitere ich.
>
> Ich hätte Reflexiv so begründet:
>
> a - a >= 0 [mm]\wedge[/mm] a-b = gerade
>
> wenn ich die Formel a-a >=0 ausrechne, erhalte ich immer 0.
> Also ist Bedingung 1 immer erfüllt.
> Prüfen ob gerade:
> a-a=2x ergibt ebenfalls 0. Also ist Bedingung 2 ebenfalls
> wahr.
Hallo,
eben.
Aufschreiben würde man das jetzt so:
Sei [mm] a\in [/mm] M.
Es ist a-a=0, 0 ist gerade.
Nach def. der Relation folgt: aRa.
Also ist R reflexiv.
> Laut boolescher Algebra ist der Beweis 1 [mm]\wedge[/mm] 1 =
> W(reflexiv) richtig. Korrigiere mich wenn ich falsch liege.
Die Boolescha Algebra brauchst Du hier nicht.
>
> Ich habe leider aber keine Ahnung wie ich transitivität
Ich habe Dir den Ansatz ja schon geliefert für die Transitivtät.
Übersetze aRb und bRc in Gleichungen, übersetze auch aRc in Gleichungen und schau, wie Du von den ersten Gleichungen zu den zweiten kommst.
Versuch das ruhig mal, oder zeig, wo genau das Problem liegt.
Gruß v. Angela
und
> antisymmetrie(aRb [mm]\wedge[/mm] bRa [mm]\Rightarrow[/mm] a=b) beweisen
> soll.
>
> Danke und Gruß
>
> Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
die Relation R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist.
(b) Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm von (M;R).
(c) Ist die Menge A = (-3;-2;-1; 0; 2; 4) beschränkt
bzgl.
der Ordnung R? Geben Sie eine nach oben beschränkte Menge
B $ [mm] \subseteq [/mm] $ M mit genau 4 Elementen. |
Genau hier ist das Problem. Wie übertrage ich a - b >= 0 und a - b gerade
in eine Gleichung um aRb [mm] \subseteq [/mm] bRc [mm] \Rightarrow [/mm] aRc zu beweisen?
Genau an diesem Punkt scheitere ich.
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> Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
> die Relation R defniert durch
> aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
> (a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M
> ist.
> Genau hier ist das Problem. Wie übertrage ich a - b >= 0
> und a - b gerade
> in eine Gleichung um aRb [mm]\subseteq[/mm] bRc [mm]\Rightarrow[/mm] aRc zu
> beweisen?
> Genau an diesem Punkt scheitere ich.
Hallo,
Du hast mit M eine Menge natürlicher Zahlen gegeben.
Für diese ist nun eine Relation R erklärt.
Wie erkennt man, daß zwei dieser Zahlen in Relation zueinander stehen? Das sagt uns die Definition von R:
sie stehen in Relation, wenn die erste größergleich der zweiten ist, also die Differenz [mm] \ge [/mm] 0, und wenn ihre Differenz eine gerade zahl ist.
3 und -5 stehen in Relation, denn
3-(-5)=8>0 , und weiter ist 8 gerade ==> 3R(-5).
Dies nur, um das zu konkretisieren.
Die Voraussetzung fürs Zeigen der Transitivität ist, daß man a,b,c hat mit aRb und bRc.
Nun verwende die Definition der Relation R.
Was bedeutet denn aRb?
aRb <==> ???
bRc <==> ???
Zeigen soll man: aRc <==> ???
Verwende die Definition der in der Aufgabe definierten Relation R.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
die Relation R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M
ist. |
Sry aber ich komm einfach auf keinen grünen Zweig.
Was bedeutet aRb?
das hier oder? a - b >= 0 und a - b
aber wie verknüpfe ich das ganze mit bRc?
Versuch:
a-b = 2x
b-c = 2y
das ganze addieren: a - c = 2(x+y)
und was sagt mir das jetzt????
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> Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
> die Relation R defniert durch
> aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
> (a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M
> ist.
> Sry aber ich komm einfach auf keinen grünen Zweig.
> Was bedeutet aRb?
>
> das hier oder? a - b >= 0 und a - b
>
> aber wie verknüpfe ich das ganze mit bRc?
>
> Versuch:
>
> a-b = 2x
> b-c = 2y
>
> das ganze addieren: a - c = 2(x+y)
>
> und was sagt mir das jetzt????
Hallo,
mir sagt es jedenfalls, daß a-c gerade ist. Vielleicht fällt Dir noch ein Grund dafür ein, daß [mm] a-c\ge [/mm] 0. Wenn Du das auch nioch gezeigt hast, dann hast Du: aRc.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
die Relation R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M
ist. |
Also:
a - b >= 0
b - c >= 0
addieren
a - c >= 0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Fr 13.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde es nicht über die Addition zeigen.
Es gilt, da aRb und bRc
[mm] a-b\ge0
[/mm]
Und [mm] b-c\ge0
[/mm]
Aus [mm] b-c\ge0 [/mm] folgt $ b [mm] \ge [/mm] c $
Also
$ [mm] 0\le [/mm] a-b [mm] \le [/mm] a-c $
Marius
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> Ich würde es nicht über die Addition zeigen.
Hallo,
ich finde Cannaes Addition sehr elegant.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
Danke Angela,
heißt das, meine Rechnung wäre so korrekt?
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> Danke Angela,
>
> heißt das, meine Rechnung wäre so korrekt?
Ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
die Relation R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M
ist. |
Ok dann mal schauen ob ich die Antisymmetrie alleine hinbekomme.
Es gilt: aRb [mm] \wedge [/mm] bRa [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
Lösung folgt...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
die Relation R defniert durch
aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
(a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M
ist. |
Antisymmetrie:
aRb [mm] \wedge [/mm] bRa [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
a - b [mm] \ge [/mm] 0 / +b
b - a [mm] \ge [/mm] 0 / +a
a [mm] \ge [/mm] b
b [mm] \ge [/mm] a
daraus folgt:
a = b
muss ich (a - b gerade) an dieser Stelle noch beweisen?
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> Auf der MengeM = (-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) ist
> die Relation R defniert durch
> aRb , a - b >= 0 und a - b gerade
> (a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf
> M
> ist.
> Antisymmetrie:
>
> aRb [mm]\wedge[/mm] bRa [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
>
> a - b [mm]\ge[/mm] 0 / +b
> b - a [mm]\ge[/mm] 0 / +a
>
> a [mm]\ge[/mm] b
> b [mm]\ge[/mm] a
>
> daraus folgt:
> a = b
Na siehste! Geht doch.
>
> muss ich (a - b gerade) an dieser Stelle noch beweisen?
Nein.
Hier ist ja vorausgesetzt, daß aRb und bRa, woraus sich aus der Def. der Relation "a-b ist gerade" ergibt.
Das ist aber für das folgende dann überhaupt nicht von Belang und deshalb hier nicht erwähnenswert. Aus den Voaussetzungen soll gefolgert werden, daß a=b ist, und das ist Dir gelungen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Cannae |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Dann versuche ich mich mal an den anderen Aufgaben.
Gruß
Stefan
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