Ordnungsrelationen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
| Aufgabe | Sei [mm] x:=\IN\times\IN [/mm] . Wir definieren wie folgt eine Relation [mm] \succeq [/mm] auf X: Wir setzten
[mm] (a,b)\succeq (c,d):\gdw [/mm] Es gilt entweder a < c oder a = c oder [mm] b\le [/mm] d
Sei weiter [mm] A:={(m,n):0\le m<3,n\in\IN }\subseteq [/mm] X.
(a) Zeigen Sie, dass obige Vorschrift eine Ordnungsrelation auf X definiert
(b) Bestimmen Sie - sofern existent - alle oberen und unteren Schranken sowie Supremum und Infimum von A bezüglich obiger Ordnungsrelation. Bestimmen Sie ferner alle maximalen und minimalen Elemente von A. |
Hallo liebes Forum,
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich war eigentlich immer ganz gut in Mathe, allerdings habe ich seit ich in der Uni bin, das Gefühl das ich keine Aufgabe mehr richtig gelöst bekomme. Oft weis ich nichtmal, wie ich an eine Aufgabe rangehen muss, um diese zu verstehen. In der Theorie habe ich soweit das Meiste verstanden, aber anwenden kann ich davon kaum etwas.
So verhält es sich auch bei der obrigen Aufgabe. Ich weis nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll und würde mich über Tipps und Hilfen freuen.
Liebe Grüße
Vivi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]x:=\IN\times\IN[/mm] . Wir definieren wie folgt eine
> Relation [mm]\succeq[/mm] auf X: Wir setzten
> [mm](a,b)\succeq (c,d):\gdw[/mm] Es gilt entweder a < c oder a = c
> oder [mm]b\le[/mm] d
> Sei weiter [mm]A:={(m,n):0\le m<3,n\in\IN }\subseteq[/mm] X.
> (a) Zeigen Sie, dass obige Vorschrift eine
> Ordnungsrelation auf X definiert
> (b) Bestimmen Sie - sofern existent - alle oberen und
> unteren Schranken sowie Supremum und Infimum von A
> bezüglich obiger Ordnungsrelation. Bestimmen Sie ferner
> alle maximalen und minimalen Elemente von A.
>
> Hallo liebes Forum,
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich war eigentlich immer
> ganz gut in Mathe, allerdings habe ich seit ich in der Uni
> bin, das Gefühl das ich keine Aufgabe mehr richtig gelöst
> bekomme. Oft weis ich nichtmal, wie ich an eine Aufgabe
> rangehen muss, um diese zu verstehen. In der Theorie habe
> ich soweit das Meiste verstanden, aber anwenden kann ich
> davon kaum etwas.
> So verhält es sich auch bei der obrigen Aufgabe. Ich weis
> nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll und würde mich
> über Tipps und Hilfen freuen.
Hallo,
nimm deine Theorie her. Definition einer Ordnungsrelation: ?
Eine Nachfrage, dass es kein Schreibfehler ist:
Geht das Zeichen [mm]\succeq [/mm] tatsächlich mit der Spitze nach rechts, aber in der zugehörigen Definition das Zeichen < mit der Spitze nach links?
Gruß Abakus
>
> Liebe Grüße
> Vivi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich muss nochmal nachfragen:
Deine Formulierung
"Entweder oder oder" scheint mir sehr fragwürdig.
"Entweder p oder q" bedeutet ja "(p und nicht q) oder (q und nicht p)"
und schließt die gleichzeitige Gültigkeit von p und q aus (was vermutlich nicht gemeint ist. Muss da wirklich "Entweder" stehen???
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
| Aufgabe | Sei [mm] X:=\IN\times\IN [/mm] . Wir definieren wie folgt eine Relation [mm] \preceq [/mm] auf X: Wir setzten
[mm] (a,b)\preceq (c,d):\gdw [/mm] Es gilt entweder a < c oder a = c und [mm] b\le [/mm] d
Sei weiter [mm] A:=\{ (m,n):0\le m<3,n\in\IN\}\subseteq [/mm] X.
(a) Zeigen Sie, dass obige Vorschrift eine Ordnungsrelation auf X definiert
(b) Bestimmen Sie - sofern existent - alle oberen und unteren Schranken sowie Supremum und Infimum von A bezüglich obiger Ordnungsrelation. Bestimmen Sie ferner alle maximalen und minimalen Elemente von A. |
Tut mir Leid, ja der Pfeil ist in die andere Richtung.
Das erste mal, dass ich mit den Ganzen Befehlen für die Symbole arbeite.
Habe nun den Text kopiert und eigefügt und die Symbole danach editiert und alles 3 mal vergleichen. Die Aufgabe sollte nun 100% stimmen.
Es ist eine Ordnungsrelation, wenn diese
reflexiv -> Jedes Element steht zu sich selbst in Relation
antisymetrisch -> Wenn a zu b und b zu a in Relation steht, dann ist a=b
transitiv -> Wenn a in Relaion zu b steht und b zu c dann steht a zu c in relation
ist.
Wie ich das hier nun anwende ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]X:=\IN\times\IN[/mm] . Wir definieren wie folgt eine
> Relation [mm]\preceq[/mm] auf X: Wir setzten
>
> [mm](a,b)\preceq (c,d):\gdw[/mm] Es gilt entweder a < c oder a = c
> und [mm]b\le[/mm] d
>
> Sei weiter [mm]A:=\{ (m,n):0\le m<3,n\in\IN\}\subseteq[/mm] X.
> (a) Zeigen Sie, dass obige Vorschrift eine
> Ordnungsrelation auf X definiert
> (b) Bestimmen Sie - sofern existent - alle oberen und
> unteren Schranken sowie Supremum und Infimum von A
> bezüglich obiger Ordnungsrelation. Bestimmen Sie ferner
> alle maximalen und minimalen Elemente von A.
> Tut mir Leid, ja der Pfeil ist in die andere Richtung.
> Das erste mal, dass ich mit den Ganzen Befehlen für die
> Symbole arbeite.
>
> Habe nun den Text kopiert und eigefügt und die Symbole
> danach editiert und alles 3 mal vergleichen. Die Aufgabe
> sollte nun 100% stimmen.
>
> Es ist eine Ordnungsrelation, wenn diese
> reflexiv -> Jedes Element steht zu sich selbst in Relation
> antisymetrisch -> Wenn a zu b und b zu a in Relation
> steht, dann ist a=b
> transitiv -> Wenn a in Relaion zu b steht und b zu c dann
> steht a zu c in relation
> ist.
>
> Wie ich das hier nun anwende ...
Steht (a,b) zu (a,b) in Relation?
D.h. gilt genau eine der Beziehungen
(1)a<a
(2)a=a UND [mm] b$\le$ [/mm] b ?
Gruß Abakus
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
Hallo Vivi,
so wirst du nie fertig. Kommst rein, wirfst eine Frage hin und verschwindest wieder aus dem Forum.
Ich war schon beim Vorbereiten des nächsten Teils (Antisymmetrie) und habe diesen nächsten Schritt fertig. Das muss etwas warten, weil wir noch nicht die Reflexivität geklärt haben.
Ewig bleibe ich heute nicht mehr am Rechner...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Sorry das es länger gedauert hat.
Muss aber zugeben, das ich keine Ahnung habe.
Habe versucht das eine oder andre in unserem Script nachzulesen, aber hat auch nichts geholfen.
Ich frage mich, woher ich wissen soll, ob a kleiner als s ist oder a=c und kleiner gleich d.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Aus der Fragestellung a lese ich, das ich zeigen soll, das es eine Ordnungsrelation auf X ist. Somit muss es ja die genannen Relationseigenschafften erfüllen.
Wie ich diese nun aber aus der Relation herauslesen, weis kann ich mir nicht erklären.
(a,b) steht nicht zu sich selbst in Relation oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Doch, habe deine Antwort gelesen, verstehe aber im Moment garnichts :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
Hallo,
vielleicht beruht ein Teil deines Problems in der Doppeldeutigkeit von a und b.
Was in deiner Definition das Element a ist, ist in der konkreten Aufgabe das Paar (a,b). Und was in deinen Definitionen als Element b bezeichnet wird, ist in der konkreten Aufgabe das Paar (c,d).
Wenn bei der Reflexivität "a in Relation zu a" stehen soll, ist in der konkreten Aufgabe also zu zeigen, dass das Paar (a,b) in Relation zum Paar (a,b) stehen soll.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Achso. Wenn das so ist, ist diese Relation reflexiv, da a =c und damit b = d ist. Somit steht jedes Element zu sich selbst in Relation.
Bei der Antisymmetrie, bin ich mir nicht sicher, da (a,b) in Relation zu (c,d) aber wenn (a,b) und (c,d) gleich sind, steht (c,d) auch zu (a,b) in Relation. Damit wäre es Antisymmeetrisch.
Transitiv habe ich nicht ganz verstanden, wo das c herkommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Achso. Wenn das so ist, ist diese Relation reflexiv, da a
> =c und damit b = d ist. Somit steht jedes Element zu sich
> selbst in Relation.
> Bei der Antisymmetrie, bin ich mir nciht sicher, da (a,b)
> in Relation zu (c,d) aber wenn (a,b) und (c,d) gleich sind,
> steht (c,d) auch zu (a,b) in Relation. Damit wäre es
> Antisymmeetrisch.
Falsche Richtung, du vertauschst Voraussetzung und Behauptung.
Wenn die Relation in beiden Richtungen gelten soll, kann man das so schreiben:
(a,b) R (c,d) UND (c,d) R (a,b)
bedeutet:
Entweder (a<c) oder (a=c und [mm] $b\le [/mm] d$) UND Entweder (c<a) oder (a=c und [mm] d$\leb$) [/mm] .
Jetzt nimm mal an, dass a<c gilt. Dann kann hinten weder c<a noch a=c gelten, sodass die zweite Relation nicht erfüllt wäre.
Also gilt vorn nicht (a<c), sondern a=c und [mm] $b\le [/mm] d$. Dann gilt hinten nicht c<a, sondern a=c und [mm] $d\le [/mm] b$.
Damit gilt (sowieso) a=c, und aus $b [mm] \le [/mm] d$ und [mm] $d\le [/mm] b$ folgt auch b=d. Somit ist (a,b) = (c,d)
>
> Transitiv habe ich nicht ganz verstanden, wo das c
Das "c" ist ein drittes Paar, nennen wir es (e,f).
Gruß Abakus
> herkommt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Vielen Dank schonmal, so macht das natürlich Sinn.
Bei der Transitivität, ergibt sich (e,f) dann aus(a,b) und (c,d). Da diese aber Äquivalent sind, ist (e,f) = (a,d) Damit wäre es Transitiv. Ich glaube aber nicht, das ich das so richtig verstanden habe. Erklärt habe ich mir die transitivität so:
R= {(0,1),(0,2),(1,2)}
Die 0 ist kleiner 1, die 1 kleiner 2. Also muss auch die 0 kleiner 2 sein.
Zu (b)
m ist größer 0 aber kleiner 3, also ist die Untere Schranke 0 oder 1 oder 2.
n ist Element der Natürlichen Zahlen und somit kann die obere Schranke eine beliebig hohe Zahl sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank schonmal, so macht das natürlich Sinn.
>
> Bei der Transitivität, ergibt sich (e,f) dann aus(a,b) und
> (c,d). Da diese aber Äquivalent sind, ist (e,f) = (a,d)
> Damit wäre es Transitiv. Ich glaube aber nicht, das ich
> das so richtig verstanden habe. Erklärt habe ich mir die
> transitivität so:
> R= {(0,1),(0,2),(1,2)}
Ein Beispiel ist kein Beweis.
(a,b) R (c,d) besteht aus einer entweder-oder-Aussage, wo der erste oder der zweite Teil wahr ist (und der andere falsch).
(c,d) R (e,f) ebenso.
Du musst dich schon für beide Relationen durch die vier möglichen Wahrheirswertkombinationen wahr/falsch wühlen:
(W,F) und (W,F)
(W,F) und (F,W)
(F,W) und (W,F)
(F,W) und (F,W)
Mathe kann manchmal richtig in Arbeit ausarten.
> Die 0 ist kleiner 1, die 1 kleiner 2. Also muss auch die 0
> kleiner 2 sein.
>
>
> Zu (b)
> m ist größer 0 aber kleiner 3, also ist die Untere
> Schranke 0 oder 1 oder 2.
> n ist Element der Natürlichen Zahlen und somit kann die
> obere Schranke eine beliebig hohe Zahl sein?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 04.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Ich verstehe nciht ganz, wie ich hier vorgehen soll.
(a,b) R (c,d)
Wie soll ich diese nun mit Wahr oder Falsch in zusammenhang birngen?
Tut mir Leid das ich mich so doof anstelle, aber leider bekommen wir in der Uni keine Beispielaufgaben, sodass wir uns alles so in den Aufgaben irgendwie zusammenfügen müssen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe nciht ganz, wie ich hier vorgehen soll.
>
> (a,b) R (c,d)
>
> Wie soll ich diese nun mit Wahr oder Falsch in zusammenhang
> birngen?
(a,b)R(c,d) bedeutet: (entweder) $a<c$ oder ($a=c$ und [mm] $b\le [/mm] d$)
(Da sowieso nicht gleichzeitig a<c und a=c gelten kann, könnte man das "entweder" genausogut weglassen.)
Mit "(W,F)" meint abakus z.B. den Fall, dass a<c wahr und ($a=c$ und [mm] $b\le [/mm] d$) falsch ist.
(c,d)R(e,f) bedeutet: $c<e$ oder (c=e und [mm] $d\le [/mm] f$).
Zu zeigen ist $(a,b)R(e,f)$, d.h. a<e oder (a=e und [mm] $b\le [/mm] f$).
Ich mache dir mal den Fall, den abakus mit "(W,F) und (W,F)" bezeichnet hat, vor.
Dieser Fall bedeutet a<c und c<e. Es folgt a<e. Also (a,c)R(e,f), was zu zeigen war.
"(W,F) und (F,W)" meint: a<c und (c=e und [mm] $d\le [/mm] f$)
"(F,W) und (W,F)" meint: ($a=c$ und [mm] $b\le [/mm] d$) und $c<e$
"(F,W) und (F,W)" meint: ($a=c$ und [mm] $b\le [/mm] d$) und ($c=e$ und [mm] $d\le [/mm] f$)
Zeige in jedem dieser Fälle: a<e oder (a=e und [mm] $b\le [/mm] f$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Vivi1003 |
Auch nach längeren grübeln verstehe ich glaube ich nicht, wie ich vorgehen soll.
Wir haben (a,b)R(c,d) und (c,d)R(e,f), daraus sollen wir folgern, dass (a,b)R(e,f), also a<c und c<e -> a<e
"(W,F) und (F,W) meint: a<c und (c=e und $ [mm] d\le [/mm] f $) "
Ist (a<c) wahr, ist (c=e und $ [mm] d\le [/mm] f $) flasch.
Wäre a<c wahr, weis ich, dass ich nicht weis was ich tue.
Ich verstehe nicht, welche Rolle hier [mm] d\le [/mm] f hat. c<e verrät mir so ja nicht viel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst einfach langsamer und geduldiger aufschreiben.
du willst aus (a,b)R (c,d) und (c,d)R(e,f) folgern (a,b)R(e,f)
dann musst du zuerst hinschreiben: was bedeutet
1.(a,b)R (c,d)
2.(c,d)R(e,f)
3.(a,b)R(e,f)
und jetzt musst du aus 1. und 2. das 3. folgern, indem du die Relationen in den normalen Zahlen benutzen kannst. es gilt also ohne Beweis, wenn a<c und c<e folgt a<e usw.
du versuchst immer einzeilige Beweise, aber man muss die Vors. hier 1. und 2. hinschreiben, die Behauptung hier 3. und dann aus den Vors. die Behauptung herleiten, das sind wegen dem entweder - oder immer 2 Möglichkeiten. also ein bissel Schreibarbeit!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wir haben (a,b)R(c,d) und (c,d)R(e,f), daraus sollen wir
> folgern, dass (a,b)R(e,f),
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also a<c und c<e -> a<e
Nein. (a,b)R(c,d) ist nicht gleichbedeutend mit a<c.
(c,d)R(e,f) ist nicht gleichbedeutend mit c<e.
(a,b)R(e,f) ist nicht gleichbedeutend mit a<e.
> "(W,F) und (F,W) meint: a<c und (c=e und [mm]d\le f [/mm]) "
> Ist (a<c) wahr, ist (c=e und [mm]d\le f [/mm]) flasch.
Nein. Warum sollte das gelten?
Ist a<c wahr, so ist ($a=c$ und [mm] $b\le [/mm] d$) falsch. Meintest du das?
Zum weiteren Vorgehen hat leduart ja schon was geschrieben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Sorry das es länger gedauert hat.
> Muss aber zugeben, das ich keine Ahnung habe.
> Habe versucht das eine oder andre in unserem Script
> nachzulesen, aber hat auch nichts geholfen.
> Ich frage mich, woher ich wissen soll, ob a kleiner als s
> ist oder a=c und kleiner gleich d.
Wir reden gerade über Refexivität. Da kommen keine Paare mit c und d vor.
Du hattest meine Antwort nicht wirklich gelesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Vivi und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Sei [mm]x:=\IN\times\IN[/mm] . Wir definieren wie folgt eine
> Relation [mm]\succeq[/mm] auf X: Wir setzten
> [mm](a,b)\succeq (c,d):\gdw[/mm] Es gilt entweder a < c oder a = c
> oder [mm]b\le[/mm] d
Neben der Frage, ob das [mm] $\succeq$-Zeichen [/mm] nicht andersherum gemeint ist:
Soll es nicht möglicherweise
$a<c$ oder ($a=c$ UND [mm] $b\le [/mm] d$)
heißen?
Viele Grüße
Tobias
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