Orientierbare Mannigfaltigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:52 So 17.06.2012 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | | Man beweise: Das Tangentialbündel TM jeder Mannigfaltigkeit ist stets eine orientierbare Mannigfaltigkeit. |
Guten Morgen zusammen,
ich habe ziemliche Schwierigkeiten beim Bearbeiten dieser Aufgabe. Mein Problem beginnt bereits damit, dass ich die Definition der Orientierung einer Mannigfaltigkeit nicht wirklich verstehe:
Definition. Sei V ein k-dimensionaler Vektorraum und B(V) die Menge aller Basen von V. Sind b = [mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{k}) [/mm] und [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] (\overline{v_{1}}, [/mm] ..., [mm] \overline{v_{1}}) [/mm] zwei Basen, so ist
[mm] v_{i} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k} A_{ij} \overline{v}_{j}, [/mm]
mit [mm] M_{\overline{b}}^{b} [/mm] := [mm] (A_{ij}) [/mm] Matrix des Basisübergangs. b und [mm] \overline [/mm] b heißen äquivalent, falls [mm] det(M_{\overline{b}}^{b}) [/mm] > 0. Eine Orientierung von V ist dann eine Äquivalenzrelation im B(V). Insbesondere hat V zwei Orientierungen.
Definition. Sei M [mm] \subseteq [/mm] eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine Orientierung von M ist eine Familie [mm] O_{M} [/mm] = [mm] (O_{x})_{x \in M} [/mm] von Orientierungen der Tangentialräume [mm] T_{x}M [/mm] derart, dass zu jedem Punkt x [mm] \in [/mm] M eine Karte (h,W) mit x [mm] \in [/mm] h(W) existiert, sodass
[mm] O_{h(y)} [/mm] = Orientierung von [mm] (h_{\* , y} (\bruch{\partial}{\partial y^{1}}|_{y}), [/mm] ..., [mm] h_{\* , y} (\bruch{\partial}{\partial y^{k}}|_{y})
[/mm]
für alle y [mm] \in [/mm] W.
Was ich davon zu verstehen glaube, ist auf jeden Fall die erste Definition. Diese ist mir noch aus der Linearen Algebra bekannt. Wenn ja die Determinante einer Basiswechselmatrix größer Null ist, bedeutet das ja gerade, dass die Orientierung des Vektorraumes unter diesem Basiswechsel erhalten bleibt.
Etwas schleierhaft ist mir dagegen die zweite Definition. Wenn ich das annähernd richtig verstehe, dann nehme ich ja einfach die Standardbasisvektoren des Tangentialraumes in y und bilde diese unter h in den Tangentialraum von h(y) ab. Mir ist aber jetzt nicht ganz klar, was mir dann diese Gleichheit von [mm] O_{h(y)} [/mm] und der Orientierung des Bildes der Standardbasis des Tangentialraumes in y sagt, beziehungsweise, wie ich das verstehen soll.
Darüber hinaus weiß ich auch nicht so recht, wie ich anhand dieser Definition die obige Aufgabe lösen soll.
Für Erklärungen und Tipps wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße,
WWatson
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 09:42 Di 19.06.2012 | | Autor: | WWatson |
Nachdem ich jetzt nochmal Einiges zur Orientierbarkeit von Untermannigfaltigkeiten nachgelesen habe, glaube ich, verstanden zu haben, was diese bedeutet. In diesem Zusammenhang bin ich auf einen Satz gestoßen, der mir wohl helfen könnte, die obige Aufgabe zu lösen:
Eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, falls sie eine nirgends verschwindende Differentialform vom Grad m besitzt.
Ich habe jetzt erst überlegt, einfach die Volumenform zu verwenden, dann aber gesehen, dass diese (in unserer Vorlesung) nur für orientierte Mannigfaltigkeiten definiert ist. Mir ist jetzt noch nicht klar, wie ich dann eine solche Form konstruieren soll, beziehungsweise wie ich zeigen kann, dass eine solche Form existiert.
Hat dazu eventuell jemand einen Tipp?
Viele Grüße,
WWatson
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 27.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 27.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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