Orthognalität von Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | (Entspricht der Fragestellung!) |
Hallo Leute!!
...so, nun melde ich mich auch mal wieder..
Ich wollte euch mal fragen, ob einer von euch einen Beweis dafür kennt, dass das Produkt zweier Steigungen von senkrecht aufeinanderstehenden Geraden [mm](-1)[/mm] ist.
Also meinetwegen [mm]m_1*m_2=-1[/mm].
Dabei sollte jedoch [mm]m_1, m_2\ne0[/mm] sein.
Ich habe auch schon etwas im Internet danach gesucht und außerdem mal in einem Buch einfach eine Skizze gesehen, die dies Bestätigen soll. Diese jedoch verstehe ich gerade nicht so ganz; ich wüsste dort nicht, warum es nicht mit jedem Winkel funktionieren sollte.
Demnach wollte ich fragen, ob mir einer von euch eventuell einen anderen Beweis posten bzw. erklären könnte oder eventuell einen guten Link oder so etwas.
Mit der Hoffnung auf ein paar Antworten sage ich schon einmal DANKE!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Informacao |
ach das ist ja super, ich versuche gerade das selbe zu beweisen, aber ich hab die lösung oder den beweis noch nicht ganz...
also lasst es mich auch wissen 
schöne grüße
informacao
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also, im prinzip ist es ganz einfach:
wir gehen davon aus, dass [mm] m_{1} [/mm] * [mm] m_{2} [/mm] = -1
[mm] g_{3} [/mm] sei eine dazu orthogonale Gerade mit der Steigung [mm] m_{3}. [/mm] Nach dem satz oben gilt also: [mm] m_{1}*m_{3} [/mm] = -1.
Dann gilt auch: [mm] m_{1}*m_{2}=m_{1}*m_{3}.
[/mm]
Dan [mm] m_{1} \not=0, [/mm] darf man durch [mm] m_{1} [/mm] dividieren.
Also: [mm] m_{2}=m_{3}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] g_{2} [/mm] und [mm] g_{3} [/mm] sind paralell zueinander. Damit ist [mm] g_{1} [/mm] auch orthogonal zu [mm] g_{2}.
[/mm]
Das nennt man auch Ortogonalitätsbedingung.
Hast du es verstanden?
Liebe grüße
informacao
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Die Sache ist relativ anschaulich, wenn man sich die zur Geraden [mm]g_1[/mm] senkrechte Gerade [mm]g_2[/mm] aus jener durch eine Drehung um 90° hervorgehend denkt.
Man hängt im Schnittpunkt [mm]S[/mm] der Geraden ein Steigungsdreieck an [mm]g_1[/mm]. Nun wird [mm]g_1[/mm] gegen den Uhrzeigersinn auf [mm]g_2[/mm] gedreht. Dabei dreht sich das Steigungsdreieck mit. Aus der Abszissendifferenz von [mm]g_1[/mm] wird die Ordinatendifferenz von [mm]g_2[/mm] (blauer Pfeil). Aus der Ordinatendifferenz von [mm]g_1[/mm] wird die Abszissendifferenz von [mm]g_2[/mm] (roter Pfeil). Während der blaue Pfeil sein Vorzeichen behält (bei [mm]g_1[/mm] nach rechts, bei [mm]g_1[/mm] nach oben), ändert der rote dieses (bei [mm]g_1[/mm] nach oben, bei [mm]g_2[/mm] nach links (!!!)). Die Steigungen von [mm]g_1[/mm] bzw. [mm]g_2[/mm] sind
[mm]m_1 = \frac{\text{\red{rot}}}{\text{\blue{blau}}} \, , \ \ m_2 = \frac{\text{\blue{blau}}}{- \text{\red{rot}}}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daher ist
[mm]m_1 \cdot m_2 = -1[/mm]
In den Anhang habe ich eine Euklid-Datei (Endung .geo) und ein html-Dokument gestellt. Speichere sie in einem gemeinsamen Ordner ab und öffne das html-Dokument. Falls nichts angezeigt wird, dann schaue ![[]](/images/popup.gif) hier bei Galerie/Technische Voraussetzungen, wie du den DynaGeoX-Viewer installieren und aktivieren kannst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: html) [nicht öffentlich]
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